Теория Ландау

Ландау предположил, что свободная энергия любой системы должна удовлетворять двум условиям: быть аналитической функцией и соответствовать симметрии гамильтониана. Тогда в окрестности критической температуры ${\displaystyle T_{c}}$ термодинамический потенциал Гиббса можно разложить по степеням параметра порядка ${\displaystyle \eta }$ (намагниченности, поляризации) следующим образом:

${\displaystyle \Phi (P,T,\eta )=\Phi _{0}(P,T)+a\eta ^{2}+b\eta ^{3}+c\eta ^{4}+...-\eta hV,}$

где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — коэффициенты разложения, в общем виде зависящие от температуры ${\displaystyle T}$ и давления ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle h}$ — напряжённость соответствующего внешнего (магнитного, электрического) поля, ${\displaystyle V}$ — объём. Обычно предполагается, что коэффициенты ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ не зависят от температуры, а температурная зависимость коэффициента ${\displaystyle a}$ имеет следующий вид: ${\displaystyle a=a_{0}(T-T_{c})}$. В записанной выше формуле параметр порядка считается скалярным (однокомпонентным), но часто его приходится рассматривать как векторную величину и разложение становится намного более громоздким.

В своей теории Ландау впервые вводит понятие параметра порядка. Симметрия задачи позволяет существенно упростить разложение термодинамического потенциала по степеням параметра порядка. Так, в кристаллах с центром инверсии гамильтониан задачи не зависит от знака параметра порядка (изменение значения намагниченности или поляризации не влияет на его величину), и поэтому все слагаемые с нечётными степенями ${\displaystyle \eta }$ в разложении исчезают.

Теория Ландау оказалась чрезвычайно полезной. В ней возможно определить поведение физических параметров вблизи критической точки, введя т. н. критические индексы, а именно:

Параметр порядка ${\displaystyle \eta }$:

${\displaystyle \eta \thicksim (T_{c}-T)^{\beta },}$ (1)

где ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}.}$

Восприимчивость ${\displaystyle \chi }$:

${\displaystyle \chi ={\Biggl (}{\frac {\partial \eta }{\partial h}}{\Biggl )}_{h\rightarrow 0}\thicksim |T-T_{c}|^{-\gamma },}$ (2)

где ${\displaystyle \gamma =1}$.

Теплоёмкость при ${\displaystyle T<T_{c}}$:

${\displaystyle C\thicksim |T-T_{c}|^{-\alpha },}$ (3)

где ${\displaystyle \alpha =0}$.

Параметр порядка в присутствии внешнего поля ${\displaystyle h}$ при условии ${\displaystyle T-T_{c}}$:

${\displaystyle \eta \thicksim h^{\frac {1}{\sigma }},}$ (4)

где ${\displaystyle \sigma =3}$.

В этих формулах коэффициенты ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle \sigma }$ — критические индексы, они универсальны, однако подвержены флуктуациям в реальных системах, причём флуктуации выше в системах с низкой размерностью.

Так, равновесное значение параметра порядка равно нулю выше критической температуры ${\displaystyle T_{c}}$ и соответствует следующему закону ниже ${\displaystyle T_{c}}$:

${\displaystyle \eta =\pm {\sqrt {\frac {-2r_{0}|T-T_{c}|}{u}}},}$

а восприимчивость (магнитная, диэлектрическая проницаемость) как выше, так и ниже ${\displaystyle T_{c}}$ следует закону Кюри-Вейсса:

${\displaystyle \chi \sim {\frac {1}{|T-T_{c}|}}.}$