Свободная абелева группа

• Группа ${\displaystyle G=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \simeq \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}}$, прямая сумма двух копий бесконечной циклической группы ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — свободная абелева группа ранга 2, так как имеет базис ${\displaystyle B=\lbrace e_{1},e_{2}\rbrace }$, где ${\displaystyle e_{1}=(1,0)}$ и ${\displaystyle e_{2}=(0,1)}$. Произвольный элемент ${\displaystyle (n,m)}$ группы ${\displaystyle G}$ единственным образом представляется в виде их линейной комбинации: ${\displaystyle (n,m)=ne_{1}+me_{2}}$. Более общо, свободной абелевой группой является любая решётка в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$^[3]
• Никакая конечная абелева группа, кроме тривиальной, не является свободной (так как свободная абелева группа не имеет кручения).

Для любого множества ${\displaystyle B}$ можно определить группу ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)},}$ элементы которой — функции из ${\displaystyle B}$ во множество целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ а скобки обозначают тот факт, что все функции принимают ненулевые значения не более чем на конечном множестве. Сложение функций определяется поточечно: ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x),}$ относительно этого сложения ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ образует свободную абелеву группу, базис которой находится во взаимно-однозначном соответствии со множеством ${\displaystyle B.}$ Действительно, любому элементу ${\displaystyle x}$ множества ${\displaystyle B}$ можно сопоставить функцию ${\displaystyle e_{x},}$ такую что ${\displaystyle e_{x}(x)=1,}$ и ${\displaystyle e_{x}(y)=0}$ для всех элементов ${\displaystyle y}$ из множества ${\displaystyle B,}$ таких, что ${\displaystyle y\neq x.}$ Любая функция ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ представима единственным образом в виде конечной линейной комбинации базисных функций:

${\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}}$

Группа ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ с базисом ${\displaystyle \{e_{x}\}_{x\in B}}$ единственна с точностью до изоморфизма; её элементы называются формальными суммами элементов ${\displaystyle B.}$

Свободные группы можно охарактеризовать с помощью следующего универсального свойства: функция ${\displaystyle b}$ из множества B в абелеву группу F является вложением базиса в эту группу, если для любой функции ${\displaystyle g}$ из B в произвольную абелеву группу A существует единственный гомоморфизм групп ${\displaystyle G:F\to A,}$ такой что ${\displaystyle g=G\circ b.}$ Как и для любого универсального свойства, удовлетворяющий этому свойству объект автоматически единственен с точностью до изоморфизма, поэтому данное универсальное свойство можно использовать для доказательства того, что все другие определения свободной группы с базисом B эквивалентны.

Теорема: Пусть ${\displaystyle F}$ — свободная абелева группа и пусть ${\displaystyle G\subset F}$ — её подгруппа. Тогда ${\displaystyle G}$ также является свободной абелевой группой.

Для доказательства этой теоремы необходима аксиома выбора^[4]. В книге Сержа Ленга «Алгебра» приводится доказательство, использующее лемму Цорна^[5], тогда как Соломон Лефшец и Ирвинг Капланский утверждали, что использование принципа вполне упорядочивания вместо леммы Цорна даёт более интуитивно понятное доказательство^[6].

В случае конечнопорождённых групп доказательство более простое и позволяет получить более точный результат:

Теорема: Пусть ${\displaystyle G}$ — подгруппа конечнопорождённой свободной группы ${\displaystyle F}$. Тогда ${\displaystyle G}$ свободна, существует базис ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ группы ${\displaystyle F}$ и натуральные числа ${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$ (то есть каждое из чисел делит последующее), такие что ${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$ образуют базис ${\displaystyle G.}$ Более того, последовательность ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$ зависит только от ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$, но не от выбора базиса.^[1]

Все свободные абелевы группы свободны от кручения, то есть не существует элемента группы x и ненулевого числа n, таких что nx = 0. Обратно, любая конечно порождённая свободная от кручения абелева группа свободна^[7]. Аналогичные утверждения верны, если заменить слова «группа без кручения» на «плоская группа»: для абелевых групп плоскость эквивалентна отсутствию кручения.

Группа рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — пример абелевой группы без кручения, не являющейся свободной. Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно заметить, что группа рациональных чисел является делимой, тогда как в свободной группе никакой из элементов базиса не может быть кратен другому элементу^[1].

Любая свободная абелева группа может быть описана как прямая сумма некоторого множества копий ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (равномощного её рангу). Прямая сумма любого количества свободных абелевых групп также свободна; в качестве её базиса можно взять объединение базисов слагаемых.^[1]

Прямое произведение конечного числа свободных абелевых групп также является свободным и изоморфно их прямой сумме. Однако для произведения бесконечного числа групп это не верно; например, группа Баера — Шпекера ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} },}$ прямое произведение счётного числа копий ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ не является свободной абелевой^[8][9]. В то же время, любая её счётная подгруппа является свободной абелевой^[10].