Почти достоверное событие

Термин почти наверное используется в теории вероятностей вместо термина почти всюду, появившегося в начале XX века в теории интегрирования, разработанной Эмилем Борелем и Анри Лебегом. Вклад в развитие этой идеи внесли математики Фридьеш Рис и Мишель Планшерель. В тот период использовались термины квази-достоверность и достоверность.

В начале XX века Эмиль Борель занимался изучением структуры множества вещественных чисел и, в частности, вопросом их измеримости. В 1903 году он опубликовал статью, основанную на рассуждениях о мере множеств, в которой обосновал существование иррациональных чисел. В 1905 году Борель публикует свою первую работу по вероятностям, в которой формулирует математически задачи, ранее не поддававшиеся строгому описанию. Например, вопрос о том, является ли число, выбранное наугад на отрезке от 0 до 1, рациональным. В 1908 году Борель чётко формулирует результат: «вероятность того, что случайно выбранное число будет рациональным, равна нулю»^[1]. Борель уточняет, что его результат не означает отсутствия рациональных чисел.

Современная теория вероятностей и её аксиоматика были заложены А. Н. Колмогоровым и Полем Леви. В период с 1925 по 1935 годы Колмогоров доказал множество теорем, в которых используется понятие почти достоверности. Его аксиоматика позволила исследовать события, связанные с сходимостью случайных величин, например, сильный закон больших чисел или сходимость рядов случайных величин. Его работы касаются также свойств марковских процессов и, шире, стохастических процессов. В частности, он доказал почти достоверную непрерывность траекторий брауновского движения.

Понятие квази-достоверности или почти достоверности совпадает с понятием почти всюду, но адаптировано к языку теории вероятностей^[2]. Противоположное понятие — пренебрежимо малое множество. Квази-достоверность или почти достоверность — это свойство теории вероятностей и не связано с другими близкими терминами, такими как достоверность в физическом или бытовом смысле.

В случайном эксперименте множество всех возможных исходов называется универсумом. Для оценки свойств эксперимента используются методы теории вероятностей. Вычисление вероятностей осуществляется с помощью вероятностной меры, и в зависимости от её выбора некоторые исходы могут не учитываться — такие исходы называются пренебрежимо малыми. Свойство называется почти достоверным или квази-достоверным, если оно выполняется для всех исходов, кроме пренебрежимо малых, относительно выбранной вероятностной меры, и в этом случае вероятность свойства равна 1.

Если множество исходов конечно или счётно, то единственным почти достоверным множеством является универсум; однако в случае несчётного универсального множества возможны события с вероятностью 0. Например, если дротик бросается случайно в мишень так, что он может попасть в любую область с вероятностью, пропорциональной площади этой области, то попадание в конкретную точку возможно, но имеет вероятность ноль.

Рассмотрим исторический пример, приведённый Эмилем Борелем в начале XX века^[1]. Пусть множество вещественных чисел разбито на две категории: дробные (или рациональные) и не являющиеся таковыми (иррациональные). Обе категории содержат бесконечно много элементов, но возникает вопрос: какова доля рациональных и иррациональных? Множество рациональных чисел счётно, то есть их можно перечислить. Множество иррациональных — несчётно. Следовательно, доля иррациональных существенно больше. Эти множества можно измерить с помощью меры Лебега, которая даёт интуитивное представление о «размере» множества. Например, мера отрезка [a, b] равна b – a. Борель показал, что мера Лебега множества рациональных чисел на отрезке от 0 до 1 равна нулю (так как множество счётно), а мера множества иррациональных на том же отрезке равна 1. Таким образом, если выбрать число наугад на отрезке от 0 до 1, то почти наверняка оно будет иррациональным^[1].

В другом примере, если многократно бросать идеально симметричный шестигранный кубик, то почти наверняка число бросков до первого выпадения шести будет конечным. То есть событие, при котором шесть никогда не выпадет, является пренебрежимо малым: его вероятность равна нулю^[3].

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ — вероятностное пространство. Событие ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ называется почти достоверным или ${\displaystyle \mathbb {P} }$-почти достоверным^[4], если ${\displaystyle \mathbb {P} (E)=1}$. В литературе это обозначается как «E верно п.н.» или ${\displaystyle \mathbb {P} }$-п.н., и это понятие зависит от выбора вероятностной меры ${\displaystyle \mathbb {P} }$^[5].

Более точно, свойство E называется почти достоверным, если оно выполняется вне пренебрежимо малого множества, то есть Ω \ E = E^c — пренебрежимо мало. Если E^c не принадлежит σ-алгебре ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, то E почти достоверно, если E^c содержится в пренебрежимо малом множестве. Формально, событие E = {ω ∈ Ω, E выполняется} почти достоверно, если существует измеримое множество ${\displaystyle N\in {\mathcal {F}}}$ такое, что^[5]

• ${\displaystyle E^{c}=\{\omega \in \Omega ,E{\text{ не выполняется}}\}\subset N}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (N)=0}$.

Исторически термин «почти достоверно» не был первым для обозначения события с вероятностью 1. Термины «возможно», «невозможно», «достоверно» и «квази-достоверно» могут иметь различные значения.

До Колмогорова и Бореля вероятностные исследования были сосредоточены на вычислениях вероятностей для конечного числа состояний^[6]. Например, извлечение шара из урны с белыми и чёрными шарами. Если в урне только белые шары, то можно говорить о достоверности получения белого шара. Все возможные события имеют тогда ненулевую вероятность.

Однако уже в конце XVII века Якоб Бернулли предложил рассматривать события с вероятностью, очень близкой к 1, и называл это квази-достоверностью. Например, если в урне 1 чёрный шар на 100 000, то вероятность вытащить белый шар — квази-достоверность. Здесь квази-достоверность понимается как вероятность, очень близкая к 1.

Понятие почти достоверного события появилось в начале XX века, в частности, в работах Бореля. В это время развитие теории вероятностей и аксиоматика Колмогорова позволили моделировать случайные явления с бесконечным числом состояний, что было невозможно в прежней вероятностной теории. В таких ситуациях некоторые возможные события оказываются пренебрежимо малыми, то есть имеют вероятность 0. И наоборот, некоторые почти достоверные события могут не содержать всех возможных исходов.

С начала развития вероятностных представлений учёные задавались вопросом, как измерять случайность. В 1913 году Эмиль Борель предложил идею измерять крайнюю редкость исключительных случаев^[1]. В качестве примера он приводит теорема о бесконечных обезьянах, иллюстрирующий ситуацию, которая почти достоверна.

Теорема формулируется так: если миллион обезьян случайно нажимают клавиши пишущей машинки в течение года, то среди напечатанных ими листов почти наверняка окажутся все книги Национальной библиотеки Франции.

Использование большого числа обезьян и длительного времени — образное описание ситуации с бесконечным случайным текстом. Эта невозможная для реализации и трудная для воображения ситуация и делает результат парадоксальным. Однако доказательство этого утверждения возможно с помощью теории вероятностей, в частности, с использованием леммы Бореля — Кантелли^[7].

С появлением аксиоматики современной теории вероятностей в начале XX века стало возможным исследовать почти достоверные свойства стохастических процессов. Одним из наиболее известных процессов является брауновское движение, обозначаемое B(t,ω), где t ≥ 0 — время, а ω ∈ Ω — реализация процесса.

Брауновское движение ${\displaystyle t\mapsto B(t,\omega )}$ почти достоверно непрерывно. Иными словами, для почти всех ω отображение ${\displaystyle t\mapsto B(t,\omega )}$ непрерывно. Почти достоверно оно нигде не дифференцируемо.

Закон итерационного логарифма утверждает: почти для всех t ${\displaystyle \displaystyle {\underset {t\rightarrow +\infty }{\lim \sup }}{\frac {B(t,\omega )}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1}$ почти достоверно.