Пространство элементарных событий

Пусть задан случайный эксперимент. Элементарным событием ${\displaystyle \omega }$ называется один из возможных исходов этого эксперимента. Множество всех элементарных событий ${\displaystyle \Omega \equiv \{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n},\ldots \}}$ называется пространством элементарных событий (sample space в англоязычной литературе); элементарные события представляют собой точки этого пространства.

Понятия пространства элементарных событий и элементарного события являются примитивными понятиями в теории вероятностей, подобно точке или прямой в геометрии, и не определяются через другие понятия. Поэтому не накладывается никаких ограничений на природу элементарных событий; далее в статье приводятся примеры, в которых элементарные события имеют определённую математическую природу.

Если элементарное событие — это один из возможных исходов случайного эксперимента, то событием называется любой подмножество ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$ пространства элементарных событий ${\displaystyle \Omega }$. Таким образом, событие — это объединение одного или нескольких элементарных событий. Следовательно, выражения «элементарное событие» и «событие» без уточнения относятся к объектам разной природы: первые — это точки пространства, чья природа в общем случае не уточняется, вторые — множества, к которым применимы все методы теории множеств.

Множество, совпадающее со всем пространством элементарных событий ${\displaystyle \Omega }$, само является событием, поскольку состоит из элементарных событий; оно называется достоверным событием, так как включает все элементарные события, то есть все возможные исходы эксперимента. Событие, соответствующее пустому множеству ${\displaystyle \varnothing }$, не содержащее ни одного элементарного события, называется невозможным событием.

Для заданного пространства элементарных событий, связанного с экспериментом, может случиться, что анализируемая задача затрагивает не все возможные события, а только их часть. События, имеющие значение в конкретном анализе, называются событиями интереса.

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — произвольное, но непустое множество. Семейство ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ событий в ${\displaystyle \Omega }$ (то есть любая коллекция подмножеств ${\displaystyle A_{i}\subseteq \Omega }$) называется ${\displaystyle \sigma }$-алгеброй (сигма-алгеброй), если оно содержит ${\displaystyle \Omega }$ и замкнуто относительно операций счётного объединения и дополнения, то есть выполняются следующие три свойства:

1. ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}}$
2. ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A^{c}\in {\mathcal {A}}}$
3. ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}\;\forall i\in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}}$

Следовательно: (1) достоверное событие является событием (то есть «что-то происходит»); (2) отрицание любого события также является событием; (3) любое счётное объединение событий является событием (например, событие «произошло ${\displaystyle E}$ или ${\displaystyle F}$» есть объединение событий «произошло ${\displaystyle E}$» и «произошло ${\displaystyle F}$»).

Свойство 1 эквивалентно:

1'. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {A}}}$

Свойство 3 эквивалентно:

3'. ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}\;\forall i\in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}}$

то есть сигма-алгебра также замкнута относительно счётных пересечений.

Сигма-алгебра — наиболее подходящий способ описания множества событий, исходя из множества элементарных событий, и также называется пространством событий. Она является важнейшим понятием в теории меры и возникает как обобщение алгебры множеств. Последняя требует замкнутости только относительно конечных объединений (а не счётных), что недостаточно для описания всех возможных событий, например, событий типа «когда-нибудь пойдёт дождь». Такое событие можно выразить на языке теории множеств как «дождь сегодня» или «дождь завтра» или «дождь послезавтра» и так далее; то есть событие ${\displaystyle E}$ описывается объединением бесконечного числа событий, ${\displaystyle E=\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}}$, и по определению алгебры может быть ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\notin {\mathcal {A}}}$; следовательно, ${\displaystyle E}$ не будет событием в модели, основанной на алгебре множеств. Для устранения этого недостатка вводится понятие сигма-алгебры.

Для произвольного множества ${\displaystyle \Omega }$ и семейства его подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ всегда можно (и разными способами) «расширить» семейство до сигма-алгебры. Наименьшая сигма-алгебра, содержащая семейство ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, обозначается ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})}$ и называется сигма-алгеброй, порождённой этим семейством.

Понятия пространства элементарных событий ${\displaystyle \Omega }$ и пространства событий ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, рассмотренные вместе с мерой ${\displaystyle \mathbb {P} (A)}$, называемой мерой вероятности, составляют определение вероятностного пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$, которое лежит в основе аксиоматического построения теории вероятностей.

Элементами булевой алгебры (или множества всех подмножеств) ${\displaystyle \Omega }$ являются подмножества ${\displaystyle \Omega }$; следовательно, семейство ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ подмножеств ${\displaystyle \Omega }$ — это подмножество множества всех подмножеств ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(\Omega \right)}$.

Событие ${\displaystyle A}$ — это подмножество ${\displaystyle \Omega }$, а не его элемент. То есть событие, как множество, не принадлежит пространству элементарных событий, а содержится в нём. Напротив, элементарное событие ${\displaystyle \omega }$, как точка, принадлежит пространству элементарных событий, и событие ${\displaystyle \{\omega \}}$, то есть множество, состоящее из одной точки (так называемый синглет), содержится в пространстве элементарных событий. Таким образом, можно записать ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, тогда как запись ${\displaystyle A\in \Omega }$ не имеет смысла.

Если мощность ${\displaystyle \Omega }$ конечна, то ${\displaystyle \sigma }$-алгебра может совпадать с множеством всех подмножеств; однако не всегда необходимо рассматривать столь большое семейство событий.

Очевидно, ничто не мешает взять в качестве пространства событий всё множество подмножеств. Это возможно, поскольку в случае конечной мощности всегда можно взять в качестве ${\displaystyle \sigma }$-алгебры всё множество подмножеств, не опасаясь встретить такие события ${\displaystyle A}$, для которых невозможно определить вероятность ${\displaystyle P(A)}$.

Если же мощность ${\displaystyle \Omega }$ бесконечна, то не всегда возможно определить ${\displaystyle P(A)\quad \forall A\in {\mathcal {P}}(\Omega )}$. В этом случае выбор множества всех подмножеств в качестве сигма-алгебры может быть неудачным: в силу третьего свойства сигма-алгебр, при переходе к вероятности возникают ряды, которые могут не сходиться.

В общем случае стремятся выбирать как можно меньшую сигма-алгебру, поскольку она проще в использовании. То, что сигма-алгебра не совпадает со всем множеством подмножеств, не означает, что некоторые элементарные события могут быть исключены; по определению сигма-алгебры, должно выполняться ${\displaystyle \forall \omega \in \Omega \quad \exists A\in {\mathcal {A}}:\omega \in A}$. Иными словами, сигма-алгебры, определённые на ${\displaystyle \Omega }$, покрывают ${\displaystyle \Omega }$.

Выбор пространства элементарных событий для конкретного случайного явления должен в определённой мере сочетать верность физической реальности с математическим удобством.

На практике большинство пространств элементарных событий относится к следующим типам:

Самые простые случайные эксперименты — это бросок монеты, кубика или извлечение шарика из урны. В каждом случае пространство элементарных событий будет множеством, состоящим из конечного числа элементарных событий. Обычно, но не обязательно, они представлены первыми n целыми числами: ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$ или ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$.

Многие важные вероятностные модели, например, пуассоновская модель для подсчёта числа событий, происходящих за фиксированный промежуток времени, основаны на счётном пространстве элементарных событий, совпадающем с ${\displaystyle \mathbb {N} }$ или ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Обычно классической моделью непрерывного пространства является вещественная прямая, как, например, в случае ошибок измерения в научных наблюдениях, систематическое изучение которых начал К. Ф. Гаусс в 1809 году. Другие модели, полезные для описания времени жизни электронных компонентов, используют в качестве модели положительный луч вещественной прямой.

Часто эксперимент состоит из конечной последовательности других экспериментов, например, повторного броска кубика n раз. В этом случае, если ${\displaystyle \Omega _{0}\equiv \{\omega \in \mathbb {N} :1\leq \omega \leq 6\}}$ — пространство элементарных событий одного броска, то общее пространство элементарных событий будет декартовым произведением отдельных пространств: ${\displaystyle \Omega =\Omega _{0}\times \cdots \times \Omega _{0}\equiv \{(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}):\omega _{i}\in \Omega _{0}\quad \forall i=1,\ldots ,n\}}$.

Пространство элементарных событий одного эксперимента может быть как конечным, так и счётным, так и непрерывным.

Как и в случае конечного векторного пространства, но последовательность отдельных экспериментов не конечна, а счётна: ${\displaystyle \Omega =\Omega _{0}\times \Omega _{0}\times \cdots \equiv \{(\omega _{1},\omega _{2},\ldots ):\omega _{i}\in \Omega _{0}\quad \forall i\in \mathbb {N} \}}$.

Такая модель встречается, например, при анализе качества изделий, выходящих с производственной линии, при ${\displaystyle \Omega _{0}=\{0,1\}}$, или в случайном блуждании с ${\displaystyle \Omega _{0}=\{-1,1\}}$.

В некоторых случайных экспериментах в физике исходами эксперимента являются траектории или пути частицы за определённый промежуток времени. В этом случае каждый исход — это функция. Такая модель широко используется в стохастических процессах.

Для многих экспериментов может существовать несколько разумных вариантов выбора как пространства элементарных событий, так и пространства событий, и этот выбор является важной частью построения вероятностной модели. Правильный выбор на этом этапе даёт преимущество, которое становится очевидным при определении меры вероятности.

Например, при извлечении карты из колоды можно выбрать в качестве пространства элементарных событий достоинство карты (${\displaystyle \Omega \equiv }${Туз, Двойка, Тройка, ..., Король}), или масть (${\displaystyle \Omega \equiv }${Черви, Бубны, Трефы, Пики}), или же ${\displaystyle \Omega \equiv }${Лицом вверх, Лицом вниз}, если учитывать возможность перевёрнутых карт в колоде. Более полное описание результатов может включать все эти элементы, построив пространство элементарных событий как декартово произведение приведённых выше примеров.

Возьмём произвольный лист бумаги: в целом он будет представлять наше пространство элементарных событий. Отдельные частицы листа будут соответствовать точкам пространства элементарных событий, то есть элементарным событиям. Если теперь разорвать лист на части, каждая из частей будет представлять событие, которое, как совокупность частиц, является подмножеством исходного листа, а как кусок — элементом множества частей листа (множества всех подмножеств). Заметим, что разорванный лист образует разбиение исходного листа. Части, на которые мы разорвали лист, не исчерпывают всё множество подмножеств, а составляют лишь его семейство. Это семейство можно расширить до сигма-алгебры, добавив к нему все возможные объединения, получаемые с помощью операций счётного объединения, счётного пересечения и дополнения. Например, нужно добавить к семейству объединение всех частей (весь лист). К каждой части семейства нужно добавить её дополнение (то есть объединение всех остальных частей) и так далее.

Заметим, что этот процесс приводит к сигма-алгебре, но не ко всему множеству подмножеств; чтобы получить последнее, нужно повторить процесс для всех других способов разорвать исходный лист.

Рассмотрим эксперимент, заключающийся в броске обычного кубика (куба с гранями, пронумерованными от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle 6}$) на плоскую поверхность с трением и ограниченную стенками (то есть в коробке!), и предположим, что кубик сбалансирован (то есть его масса распределена равномерно и не выделяет ни одну грань).

Исходы такого эксперимента измеримы. После потери энергии кубик неизбежно остановится, опираясь на одну из своих граней и показывая экспериментатору противоположную грань.

Число, написанное на верхней грани, можно использовать для представления исхода эксперимента, который, в целом, имеет шесть различных исходов (по числу граней кубика). Обозначим эти исходы первыми шестью целыми числами.

Тогда элементарные события — это первые шесть целых чисел, а пространство элементарных событий для этого эксперимента ${\displaystyle \Omega \equiv \left\{\omega \in \mathbb {N} :1\leq \omega \leq 6\right\}}$, имеющее мощность ${\displaystyle \#\Omega =6}$, то есть конечную.

Поскольку каждое событие — это подмножество пространства элементарных событий, то есть элемент множества всех подмножеств ${\displaystyle \Omega }$, существует ${\displaystyle 2^{6}}$ возможных событий, среди которых, очевидно, пустое множество, всё ${\displaystyle \Omega }$, шесть синглетов, ${\displaystyle {6 \choose 2}}$ возможных пар, чётные ${\displaystyle \{2,4,6\}}$ и так далее.

Выбор ${\displaystyle \sigma }$-алгебры зависит от целей. Если, например, нас интересует вероятность выпадения чётного числа, то единственными событиями интереса будут ${\displaystyle A}$ = «выпало чётное» и его дополнение. Наименьшая сигма-алгебра, содержащая событие ${\displaystyle A}$, будет: ${\displaystyle \{\varnothing ,A,A^{c},\Omega \}}$. Это не единственный вариант, но среди всех сигма-алгебр, содержащих событие ${\displaystyle A}$, эта — наименьшая, а значит, требует наименьших усилий и создаёт меньше проблем.

Эта сигма-алгебра, названная в честь французского математика Э. Бореля, не является интуитивно очевидной, но приводится здесь как знаменитый пример, играющий фундаментальную роль в теории вероятностей. Несмотря на свою простоту (достаточно рассмотреть бесконечное число бросков монеты, чтобы столкнуться с борелевской сигма-алгеброй), она поставила под сомнение классическую теорию вероятностей, потребовав её аксиоматического пересмотра А. Н. Колмогоровым.

Пусть ${\displaystyle \Omega =(0,1]}$ — единичный вещественный интервал, открытый слева и замкнутый справа. Пусть ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ — семейство интервалов в ${\displaystyle \Omega }$ вида ${\displaystyle (a,b]}$ при ${\displaystyle a<b}$. Добавим к ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ интервалы ${\displaystyle A_{i}=(a_{i},b_{i}]}$, все их конечные попарно непересекающиеся объединения ${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcup _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]}$ и, наконец, пустое множество.

Борелевская алгебра ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$, полученная таким образом, хотя и весьма обширна, ещё не является сигма-алгеброй; например, из неё исключены синглеты ${\displaystyle \{x\}}$, которые, согласно свойству 3', должны присутствовать. Каждый из них, действительно, является счётным пересечением множеств семейства, поскольку ${\displaystyle \{x\}=\bigcap _{n=1}^{\infty }(x-{\frac {1}{n}},x]}$.

Множество ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, полученное объединением ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$ с синглетами, является сигма-алгеброй; кроме того, оно не совпадает с множеством всех подмножеств ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$, и, следовательно, не является тривиальным, как показал Дж. Витали.

Рассмотрим снова пример броска кубика. Мы уже видели, что если нас интересует вероятность выпадения чётного числа, нужно рассмотреть событие ${\displaystyle A}$ = {выпало чётное}. Но одного ${\displaystyle A}$ недостаточно; для завершения разбиения нужно добавить к ${\displaystyle A}$ его дополнение. Тогда ${\displaystyle \{A,A^{c}\}}$ — разбиение, замкнутое относительно дополнения.

Конечно, возможны и другие разбиения, например, ${\displaystyle \{\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\}\}}$ или ${\displaystyle \{A,\{1\},\{3\},\{5\}\}}$. Однако первое не различает чётные и нечётные, а второе добавляет детали, не представляющие интереса, например, какое нечётное число выпало — ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 3}$ или ${\displaystyle 5}$. Поэтому ${\displaystyle \{A,A^{c}\}}$ — наилучшее разбиение для рассматриваемой задачи.

Если по каким-то причинам нужно рассмотреть все шесть возможных конфигураций, то разбиение должно быть максимально тонким: ${\displaystyle \{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\}\}}$. После задания такого пространства элементарных событий для построения его сигма-алгебры рассматривают все возможные объединения его элементов и их дополнения (процедура применима для любого конечного множества). Сигма-алгебра будет содержать, например: ${\displaystyle \{5\}\cup \{6\},\{1\}\cup \{2\}\cup \{3\},\{1\}^{c}\cup \{4\},\ldots }$