Понятие высказывания

• Суждение — содержание высказывания, которое может быть истинным или ложным.
• Истинностные значения — логические значения высказываний: истина или ложь.
• Логическая постоянная — термин, сохраняющий одно и то же значение во всех высказываниях.

Суждение — это мысль, утверждающая или отрицающая что-либо о предметах или явлениях. Одно и то же суждение может быть выражено разными высказываниями на разных языках или в разных формах. Когда суждение рассматривается вместе с конкретной формой его выражения, оно называется высказыванием.

• Элементарные высказывания — не содержат логических связок и не могут быть разделены на более простые высказывания. Пример: «5 < 7».

• Сложные высказывания — строятся из нескольких простых высказываний с использованием логических связок. Пример: «Если 5 < 7, то 5 — чётное число».

Логические связки используются для формирования сложных высказываний:

• Отрицание (${\displaystyle \neg }$): «не», «неверно, что». Преобразует значение высказывания на противоположное.
• Конъюнкция (${\displaystyle \land }$): «и». Истинно, когда оба высказывания истинны.
• Дизъюнкция (${\displaystyle \vee }$): «или». Истинно, когда хотя бы одно высказывание истинно.
• Импликация (${\displaystyle \rightarrow }$): «если…, то». Истинно, кроме случая, когда первое высказывание истинно, а второе ложно.
• Эквиваленция (${\displaystyle \leftrightarrow }$): «тогда и только тогда, когда». Истинно, когда оба высказывания имеют одинаковые значения.

• Всеобщность (${\displaystyle \forall }$): «для всех».
• Существование (${\displaystyle \exists }$): «существует такой, что».

• Логический субъект — то, о чём говорится в высказывании.
• Логический предикат — что утверждается или отрицается о субъекте.
• В предложении «Все люди смертны» логический субъект — «люди», логический предикат — «смертны».

• Высказывательная форма — выражение с переменными, которое становится высказыванием при подстановке конкретных значений.
• Пример: «x > 5» — высказывательная форма; при x = 7 получаем высказывание «7 > 5», которое истинно.

• Логика высказываний изучает способы построения сложных высказываний и их свойства.
• Логика предикатов расширяет логику высказываний, вводя кванторы и предикаты для более глубокого анализа структур высказываний.

Понимание высказываний и их структур является основой математической логики. Высказывания позволяют формализовать рассуждения, анализировать их истинность и строить логические выводы. Знание видов высказываний, логических связок и операций способствует развитию логического мышления и умению аргументировано рассуждать.