Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Так как прямоугольный треугольник — это половина прямоугольника, то и его площадь находится как половина произведения катетов. То есть, ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ab.}$

Данная формула была получена из основной формулы для треугольников:

${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\dfrac {1}{2}}ab\sin \gamma }$.

В формуле имеется значение синуса угла между сторонами a и b.

Зная высоту и одну сторону треугольника, к которой проведена высота, можно воспользоваться следующей формулой:

${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\dfrac {1}{2}}a\cdot h_{a}={\dfrac {1}{2}}b\cdot h_{b}={\dfrac {1}{2}}c\cdot h_{c}}$

Для определения площади можно воспользоваться популярной формулой Герона. Для нахождения площади потребуется знать все три стороны и величину полупериметра:

${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\sqrt {p\cdot p_{a}\cdot p_{b}\cdot p_{c}}}={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}={1 \over 4}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}}$.

Если вокруг треугольника описана окружность, то для нахождения площади можно воспользоваться следующей формулой:

${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\dfrac {abc}{4R}}}$.

Если же окружность наоборот вписана, то для нахождения площади необходимо найти произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

${\displaystyle S_{\triangle ABC}=r\cdot p}$.

У квадрата все стороны равны и диагонали также между собой равны.

Площадь квадрата находится как квадрат его стороны или полуквадрат длины диагонали: площадь ${\displaystyle S}$ квадрата равна:

${\displaystyle S=a^{2}=2R^{2}=4r^{2}={1 \over 2}d^{2}}$.

Площадь прямоугольника равна произведению его двух смежных сторон:

${\displaystyle S=ab}$.

Площадь любого параллелограмма можно найти по известной стороне и высоте или же по двум сторонам и углу между ними:

• Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

${\displaystyle S=bh}$ , где ${\displaystyle b}$ — сторона, ${\displaystyle h}$ — высота, проведённая к этой стороне.

• Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними:

${\displaystyle S=ab\sin \alpha ,}$

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — смежные стороны, ${\displaystyle \alpha }$ — угол между сторонами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

Для нахождения площади трапеции можно воспользоваться формулой Герона для трапеций:

${\displaystyle S={\dfrac {a+b}{4(b-a)}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.}$

или

${\displaystyle S={\dfrac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\dfrac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}}$,

где ${\displaystyle a<b}$ — основания, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ — боковые стороны трапеции.

Но есть и более простая формула для нахождения площади трапеции — по известным длинам оснований и высоте:

${\displaystyle S={\dfrac {(a+b)}{2}}h}$.

Для нахождения площади круга следует знать либо значение радиуса, либо диаметра круга:

${\displaystyle S=\pi R^{2}}$.

Для нахождения площади сектора, следует умножить радиус соответствующей окружности на длину дуги сектора. Длина дуги находится произведением радиуса на соответствующую радианную меру дуги:

${\displaystyle S={\frac {r\cdot L}{2}}={\frac {r^{2}{\boldsymbol {\alpha }}}{2}}={\frac {\pi r^{2}\theta }{\displaystyle {360^{\circ }}}}}$ ,
где ${\displaystyle \theta }$ — центральный угол в градусах, ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ — центральный угол в радианах, ${\displaystyle L}$ — длина дуги сектора.

Площадь кругового сегмента вычисляется по формуле:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}R^{2}(\theta -\sin \theta )={\frac {1}{2}}R^{2}\left({\frac {s}{R}}-\sin {\tfrac {s}{R}}\right).}$