Плоскость

В «Началах» Евклида была разработана математическая схема, которая является отражением реального, физического пространства. Определение пространства Евклида строится на системе его аксиом, то есть основных предложений, которые справедливы в геометрии Евклида и из которых можно логически вывести все остальные предложения этой геометрии. Пространство Евклида определяется как совокупность объектов трёх родов:

1. объектов, называемых «точками», «прямыми» и «плоскостями»;
2. преобразований, переводящих совокупность всех точек в себя, называемых «движениями»;
3. соотношений между этими объектами: «точка лежит на прямой» (или «прямая проходит через точку»), «точка лежит на плоскости», «прямая лежит на плоскости», «точка лежит между двумя другими точками», причём указанные объекты и соотношения удовлетворяют следующим аксиомам.

1. Через каждые две различные точки проходит прямая и притом только одна.
2. На каждой прямой имеются по крайней мере две точки.
3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
4. Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
5. На каждой плоскости имеется по крайней мере одна точка.
6. Если две точки лежат на плоскости, то и проходящая через них прямая лежит на этой плоскости.
7. Если две плоскости имеют общую точку, они имеют по крайней мере ещё одну общую точку.
8. Существуют четыре точки, не лежащие на одной плоскости.

1. Из любых трёх различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2. Для всяких двух точек прямой существует на этой прямой такая третья точка, что вторая точка лежит между первой и третьей.
3. Если прямая ${\displaystyle l}$, лежащая в плоскости ${\displaystyle ABC}$, не проходит ни через одну из точек ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ и содержит одну точку отрезка ${\displaystyle AB}$, то она имеет общую точку хотя бы с одним из отрезков ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle BC}$.

Через точку ${\displaystyle A}$, не лежащую на прямой ${\displaystyle l}$, можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей прямую ${\displaystyle l}$.

Отсюда две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, условились называть параллельными.

В книге «Начала» Евклида даётся следующее определение плоскости^[3].

Плоская поверхность — такая, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым линиям на ней.

В системе аксиом Гильберта евклидовой геометрии расстояние вводится на базе аксиом конгруэнтности и непрерывности, и плоскость в этом случае называется непрерывной. В случае невыполнения для плоскости аксиом непрерывности плоскость называется дискретной. Плоскость, состоящая из конечного числа точек, а следовательно, и прямых, называется конечной^[1].

Уравнение ${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}$ с произвольными коэффициентами ${\displaystyle A,B,C}$ и ${\displaystyle D}$ такими, что из коэффициентов ${\displaystyle A,B}$ и ${\displaystyle C}$ хотя бы один отличен от нуля, называется общим уравнением плоскости.

Плоскость, определяемая общим уравнением, ортогональна к вектору ${\displaystyle \mathbf {n} =\{A,B,C\}}$. Этот вектор называют нормальным вектором плоскости.

Общее уравнение плоскости называется полным, если все его коэффициенты ${\displaystyle A,B,C}$ и ${\displaystyle D}$ отличны от нуля.

Если хотя бы один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным.

Возможные виды неполных уравнений:

• ${\displaystyle D=0}$ — уравнение ${\displaystyle Ax+By+Cz=0}$ определяет плоскость, которая проходит через начало координат;
• ${\displaystyle A=0}$ — уравнение ${\displaystyle By+Cz+D=0}$ определяет плоскость, параллельную оси ${\displaystyle Ox}$ (поскольку нормальный вектор этой плоскости ${\displaystyle \mathbf {n} =\{0,B,C\}}$ перпендикулярен оси ${\displaystyle Ox}$);
• ${\displaystyle B=0}$ — уравнение ${\displaystyle Ax+Cz+D=0}$ определяет плоскость, параллельную оси ${\displaystyle Oy}$ (нормальный вектор этой плоскости ${\displaystyle \mathbf {n} =\{A,0,C\}}$ перпендикулярен оси ${\displaystyle Oy}$);
• ${\displaystyle C=0}$ — уравнение ${\displaystyle Ax+By+D=0}$ определяет плоскость, параллельную оси ${\displaystyle Oz}$ (нормальный вектор этой плоскости ${\displaystyle \mathbf {n} =\{A,B,0\}}$ перпендикулярен оси ${\displaystyle Oz}$);
• ${\displaystyle A=0}$, ${\displaystyle B=0}$ — уравнение ${\displaystyle Cz+D=0}$ определяет плоскость, параллельную координатной плоскости ${\displaystyle Oxy}$ (поскольку эта плоскость параллельна осям ${\displaystyle Ox}$ и ${\displaystyle Oy}$);
• ${\displaystyle A=0}$, ${\displaystyle C=0}$ — уравнение ${\displaystyle By+D=0}$ определяет плоскость, параллельную координатной плоскости ${\displaystyle Oxz}$ (плоскость параллельна осям ${\displaystyle Ox}$ и ${\displaystyle Oz}$);
• ${\displaystyle B=0}$, ${\displaystyle C=0}$ — уравнение ${\displaystyle Ax+D=0}$ определяет плоскость, параллельную координатной плоскости ${\displaystyle Oyz}$ (плоскость параллельна осям ${\displaystyle Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$);
• ${\displaystyle A=0}$, ${\displaystyle B=0}$, ${\displaystyle D=0}$ — уравнение ${\displaystyle Cz=0}$ определяет координатную плоскость ${\displaystyle Oxy}$ (поскольку эта плоскость параллельна ${\displaystyle Oxy}$ и проходит через начало координат);
• ${\displaystyle A=0}$, ${\displaystyle C=0}$, ${\displaystyle D=0}$ — уравнение ${\displaystyle By=0}$ определяет координатную плоскость ${\displaystyle Oxz}$ (плоскость параллельна ${\displaystyle Oxz}$ и проходит через начало координат);
• ${\displaystyle B=0}$, ${\displaystyle C=0}$, ${\displaystyle D=0}$ — уравнение ${\displaystyle Ax=0}$ определяет координатную плоскость ${\displaystyle Oyz}$ (плоскость параллельна ${\displaystyle Oyz}$ и проходит через начало координат)^[4].

Поскольку в полном уравнении плоскости ${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}$ все коэффициенты ${\displaystyle A,B,C}$ и ${\displaystyle D}$ отличны от нуля, его можно привести к следующему виду: ${\displaystyle {\frac {x}{-D/A}}+{\frac {y}{-D/B}}+{\frac {z}{-D/C}}=1}$.

Положив ${\displaystyle a=-D/A}$, ${\displaystyle b=-D/B}$, ${\displaystyle c=-D/C}$, получают уравнение плоскости в отрезках

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1}$.

В этом уравнении числа ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ имеют геометрический смысл: они равны величинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях ${\displaystyle Ox,Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$ соответственно (см. рисунок). Точка пересечения с осью ${\displaystyle Ox}$ определяется из совместного рассмотрения уравнения ${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1}$ с уравнениями ${\displaystyle y=0}$ и ${\displaystyle z=0}$ оси ${\displaystyle Ox}$. Получаются координаты точки пересечения ${\displaystyle x=a}$, ${\displaystyle y=0}$, ${\displaystyle z=0}$. Аналогично определяются координаты точки пересечения плоскости с осью ${\displaystyle Oy}$: ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle y=b}$, ${\displaystyle z=0}$. Координаты точки пересечения плоскости с осью ${\displaystyle Oz}$: ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle y=0}$, ${\displaystyle z=c}$^[4].

Отрезки, которые отсекает плоскость на осях Ox, Oy и Oz отсчитываются от начала координат.

Пусть задана произвольная плоскость ${\displaystyle \pi }$ и к ней проведён нормальный вектор ${\displaystyle \mathbf {n} }$. Углы ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$ образованы вектором ${\displaystyle \mathbf {n} }$ с осями ${\displaystyle Ox}$, ${\displaystyle Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$ соответственно. Расстояние ${\displaystyle p}$ от начала координат до плоскости ${\displaystyle \pi }$ (см. рисунок).

Плоскость ${\displaystyle \pi }$ в системе координат ${\displaystyle Oxyz}$.

Уравнение плоскости ${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0}$, выраженное через параметры ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$ называется нормированным уравнением плоскости.

Пусть число ${\displaystyle d}$ обозначает расстояние от точки ${\displaystyle M}$ до плоскости ${\displaystyle \pi }$.

Отклонением ${\displaystyle \delta }$ точки ${\displaystyle M}$ от плоскости ${\displaystyle \pi }$ называется число ${\displaystyle +d}$ в случае, когда точка ${\displaystyle M}$ и начало координат ${\displaystyle O}$ лежат по разные стороны от плоскости ${\displaystyle \pi }$, и число ${\displaystyle -d}$ в случае, когда точка ${\displaystyle M}$ и начало координат ${\displaystyle O}$ лежат по одну сторону от ${\displaystyle \pi }$.

Если же начало координат ${\displaystyle O}$ лежит на плоскости ${\displaystyle \pi }$, отклонение считают равным ${\displaystyle +d}$ в случае, когда ${\displaystyle M}$ лежит по ту сторону от ${\displaystyle \pi }$, куда направлен вектор ${\displaystyle \mathbf {n} }$, и равным ${\displaystyle -d}$ в противном случае.

Теорема

Левая часть нормированного уравнения плоскости равна отклонению точки ${\displaystyle M}$ с координатами ${\displaystyle x,y,z}$ от плоскости ${\displaystyle \pi }$, заданной нормированным уравнением

Следствие

Для нахождения отклонения ${\displaystyle \delta }$ точки ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ от плоскости ${\displaystyle \pi }$ следует в левую часть нормированного уравнения плоскости ${\displaystyle \pi }$ подставить на место ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ координаты ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle y_{0}}$ и ${\displaystyle z_{0}}$ точки ${\displaystyle M_{0}}$.

Это правило позволяет отыскивать и расстояние от точки ${\displaystyle M}$ до плоскости ${\displaystyle \pi }$, ибо расстояние равно модулю отклонения.

Так как общее уравнение ${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}$ и нормированное уравнение ${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0}$ должны определять одну и ту же плоскость, то найдётся число ${\displaystyle t}$ такое, что

${\displaystyle tA=\cos \alpha ,\quad tB=\cos \beta ,\quad tC=\cos \gamma ,\quad tD=-p}$.

Возведя в квадрат первые три равенства выше, складывая их и учитывая, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, получают ${\displaystyle t^{2}(A^{2}+B^{2}+C^{2})=1}$, откуда

${\displaystyle t=\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$.

Так как по смыслу расстояние ${\displaystyle p}$ всегда неотрицательно, то из последнего равенства заключают, что знак ${\displaystyle t}$ противоположен знаку ${\displaystyle D}$.

Для приведения общего уравнения плоскости ${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}$ к нормированному виду следует умножить его на нормирующий множитель ${\displaystyle t=\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$, знак которого противоположен знаку ${\displaystyle D}$.

${\displaystyle \mathbf {r} \mathbf {n} +D=0}$,

где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор точки ${\displaystyle M(x,y,z)}$, вектор ${\displaystyle \mathbf {n} =\{A,B,C\}}$ — нормаль к плоскости.

Направляющие косинусы вектора ${\displaystyle \mathbf {n} =\{A,B,C\}}$:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.}$^[5]

• Уравнение плоскости, проходящей через точку ${\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}$, перпендикулярной вектору нормали ${\displaystyle \mathbf {n} }$:

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0}$.

Плоскость однозначно определяется:

1. тремя точками ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$, ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$ и ${\displaystyle P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})}$;
2. двумя точками ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ и направлением, задаваемым направляющим вектором ${\displaystyle \mathbf {R} =(l,m,n)}$, не параллельным ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$;
3. точкой ${\displaystyle P_{1}}$ и двумя направлениями, задаваемыми двумя линейно независимыми векторами ${\displaystyle \mathbf {R_{1}} =(l_{1},m_{1},n_{1})}$ и ${\displaystyle \mathbf {R_{2}} =(l_{2},m_{2},n_{2})}$;
4. точкой и ненулевым вектором ${\displaystyle \mathbf {N} =(A,B,C)}$, коллинеарным вектору нормали к плоскости^[6].

Аффинная система координат на плоскости задаётся упорядоченной парой неколлинеарных векторов ${\displaystyle {\boldsymbol {e_{1}}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {e_{2}}}}$(аффинный базис) и точкой ${\displaystyle O}$ (начало координат). Прямые, проходящие через точку ${\displaystyle O}$ параллельно векторам базиса, называются осями координат. Векторы ${\displaystyle {\boldsymbol {e_{1}}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {e_{2}}}}$ задают на осях координат положительное направление. Аффинными координатами точки ${\displaystyle M}$ называется упорядоченная пара чисел ${\displaystyle (x,y)}$, которые являются коэффициентами разложения ${\displaystyle {\overline {OM}}}$ по векторам базиса: ${\displaystyle {\overline {OM}}=x{\boldsymbol {e_{1}}}+y{\boldsymbol {e_{2}}}}$. Плоскости, проходящие через пары осей координат, называются координатными плоскостями^[7].

Пусть в пространстве задана аффинная система координат ${\displaystyle Oxyz}$. Пусть также задана плоскость ${\displaystyle \pi }$ с точкой ${\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}$, лежащей в этой плоскости и векторами ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=\{a_{1},a_{2},a_{3}\}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}}$, образующими базис плоскости. Также в пространстве взята произвольная точка ${\displaystyle O}$. Тогда уравнение плоскости ${\displaystyle \pi }$ в векторном виде ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r_{0}}}+u{\boldsymbol {a}}+v{\boldsymbol {b}}}$, где ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ — радиус-вектор произвольной точки ${\displaystyle M(x,y,z)}$, лежащей в плоскости ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle {\boldsymbol {r_{0}}}}$ — радиус-вектор точки ${\displaystyle M_{0}}$; ${\displaystyle u,v}$ — действительные числа. Переходя в этом уравнении от равенства векторов к равенству их координат получают параметрические уравнения плоскости^[8]:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+ua_{1}+vb_{1},\\y=y_{0}+ua_{2}+vb_{2},\\z=z_{0}+ua_{3}+vb_{3}.\end{cases}}}$

Утверждения

1. Если в пространстве задана произвольная плоскость ${\displaystyle \pi }$ и фиксирована произвольная декартова прямоугольная система ${\displaystyle Oxyz}$, то плоскость ${\displaystyle \pi }$ определяется в этой системе уравнением первой степени.
2. Если в пространстве фиксирована произвольная декартова прямоугольная система ${\displaystyle Oxyz}$, то всякое уравнение первой степени с тремя переменными ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ определяет относительно этой системы плоскость^[9].

Угол пересечения ${\displaystyle \varphi }$ двух плоскостей равен углу между векторами нормалей ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$ к этим плоскостям:

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\mathbf {n} _{1}\mathbf {n} _{2}}{\vert {}\mathbf {n} _{1}\vert {}\vert {}\mathbf {n} _{2}\vert {}}}}$.

Пусть две плоскости ${\displaystyle \pi _{1}}$ и ${\displaystyle \pi _{2}}$ заданы общими уравнениями ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0}$, ${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0}$ и образуют четыре двугранных угла, равных попарно.

Из определения скалярного произведения ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}\mathbf {n} _{2}=\vert {}\mathbf {n} _{1}\vert {}\vert {}\mathbf {n} _{2}\vert {}\cos \varphi }$ и из выражения в координатах длин векторов ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$ и их скалярного произведения следует

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}}}$.

Условие параллельности плоскостей ${\displaystyle \pi _{1}}$ и ${\displaystyle \pi _{2}}$, эквивалентное условию коллинеарности векторов ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$, заключается в пропорциональности координат этих векторов:

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}}$.

Условие перпендикулярности плоскостей ${\displaystyle \pi _{1}}$ и ${\displaystyle \pi _{2}}$ может быть получено из формулы угла между двумя плоскостями при ${\displaystyle \cos \varphi =0}$: ${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0}$

или выражено равенством нулю скалярного произведения векторов ${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$.

Пусть даны три различные точки ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}$, ${\displaystyle M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})}$ и ${\displaystyle M_{3}(x_{3},y_{3},z_{3})}$, не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}=\{x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1}\}}$ и ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{3}}}=\{x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1},z_{3}-z_{1}\}}$ не коллинеарны, а поэтому

Точка ${\displaystyle M(x,y,z)}$ лежит в одной плоскости с точками ${\displaystyle M_{1}}$, ${\displaystyle M_{2}}$ и ${\displaystyle M_{3}}$ тогда и только тогда, когда векторы ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$, ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{3}}}}$ и ${\displaystyle {\overline {M_{1}M}}=\{x-x_{1},y-y_{1},z-z_{1}\}}$ компланарны, то есть тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих трёх векторов равно нулю.

Используя выражение смешанного произведения в координатах, получают необходимое и достаточное условие принадлежности ${\displaystyle M(x,y,z)}$ к указанной плоскости в виде

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0}$.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую ${\displaystyle L}$, называется пучком плоскостей (с центром в ${\displaystyle L}$).

Утверждение

Если ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0}$ и ${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0}$ суть уравнения двух различных и не параллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая ${\displaystyle L}$, а ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — какие угодно не равные одновременно нулю числа, то

${\displaystyle \alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0\qquad (1)}$

есть уравнение плоскости, проходящей через прямую ${\displaystyle L}$. Более того, какова бы ни была наперёд заданная проходящая через прямую ${\displaystyle L}$ плоскость, она определяется уравнением ${\displaystyle (1)}$ при некоторых ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ .

Данное утверждение позволяет задавать прямую ${\displaystyle L}$, являющуюся линией пересечения двух не совпадающих и не параллельных плоскостей, не только двумя уравнениями этих плоскостей, но и любыми двумя различными уравнениями пучка ${\displaystyle (1)}$ (полученными при каких угодно ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$^[11] .

Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$, называется связкой плоскостей (с центром в ${\displaystyle M_{0}}$). Уравнение связки с центром в ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ имеет вид ${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0}$, где ${\displaystyle A,B,C}$ — какие угодно числа, не равные одновременно нулю .

Принято обозначать ${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство символом ${\displaystyle E^{n}}$.

${\displaystyle k}$-мерной плоскостью пространства ${\displaystyle E^{n}}$ называют множество таких точек ${\displaystyle M}$ этого пространства, что все векторы ${\displaystyle {\overline {M_{0}M}}}$, где ${\displaystyle M_{0}}$ — некоторая точка этого множества, являются линейными комбинациями ${\displaystyle k}$ линейно независимых векторов ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1},{\boldsymbol {a}}_{2},\ldots {\boldsymbol {a}}_{k}}$. ${\displaystyle k}$-мерная плоскость определяется векторным уравнением ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}+t_{1}{\boldsymbol {a}}_{1}+t_{2}{\boldsymbol {a}}_{2}+\ldots +t_{k}{\boldsymbol {a}}_{k}}$, где ${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{k}}$ — произвольные числа.

${\displaystyle k}$-мерная плоскость пространства ${\displaystyle E^{n}}$ является ${\displaystyle k}$-мерным евклидовым пространством ${\displaystyle E^{k}}$.

Через две различные точки ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle M_{1}}$ проходит единственная прямая ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}+t(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{0})}$, а через ${\displaystyle k+1}$ точек ${\displaystyle M_{0},M_{1},\ldots ,M_{k}}$, не лежащих в одной ${\displaystyle (k-1)}$-мерной плоскости, проходит единственная ${\displaystyle k}$-мерная плоскость ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}+t_{1}(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{0})+t_{2}(\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{0})+\ldots +t_{k}(\mathbf {x} _{k}-\mathbf {x} _{0})}$. ${\displaystyle (n-1)}$-плоскость в ${\displaystyle n}$-мерном пространстве принято называть гиперплоскостью.

Помимо геометрии многомерного евклидова пространства, разработана геометрия многомерных аффинного, проективного и конформного пространств, многомерные неевклидовы геометрии, многомерные геометрии переменной кривизны (римановы геометрии) и более сложные геометрии аффинной, проективной и конформной связности, а также бесконечномерные геометрии различных типов. Многомерные геометрические представления применяются для наглядного решения систем линейных уравнений и других задач линейной алгебры, для решения задач линейного программирования и других задач, в которых рассматриваются более трёх независимых переменных.

Плоскость может рассматриваться как совокупность двух непересекающихся множеств — множества точек и множества прямых с симметричным отношением инцидентности, связывающим точку и прямую. Плоскость называется метрической, если кроме отношения инцидентности определено расстояние между любой парой точек. В зависимости от требований, которым удовлетворяет отношение инцидентности, описываемое определёнными аксиомами, различают проективные, аффинные, гиперболические, эллиптические плоскости и др. Плоскости можно классифицировать по группам коллинеаций (классификация Ленца — Бартолоцци проективных и аффинных плоскостей) или по реализации в плоскости тех или иных конфигураций (например, Дезаргова геометрия, Паскалева геометрия)^[10].

Отождествляя диаметрально противоположные точки гиперсферы в четырёхмерном евклидовом пространстве, получают трёхмерное неевклидово пространство Римана. Прямой линией и плоскостью в неевклидовом пространстве Римана называют множество точек этого пространства, получающееся при отождествлении диаметрально противоположных точек, лежащих соответственно на большой окружности и большой сфере гиперсферы.

Отождествление противоположных точек сферы в геометрии Римана

Плоскость неевклидова пространства Римана является неевклидовой плоскостью Римана.

Если на гиперсфере у каждой большой сферы имеются два диаметрально противоположных полюса, то в неевклидовом пространстве Римана у каждой плоскости имеется только один полюс. Плоскость можно рассматривать как множество всех точек, отстоящих от полюса на расстоянии ${\displaystyle \pi r/2}$. Все перпендикуляры к плоскости в пространстве Римана пересекаются в полюсе этой плоскости.

Все перпендикуляры к плоскости в пространстве Римана пересекаются в её полюсе

Всякие две плоскости в этом пространстве обладают общим перпендикуляром, причём каждая точка пересечения плоскостей является полюсом одной из плоскостей, проходящих через этот общий перпендикуляр. Плоскости неевклидова пространства Римана находятся во взаимно однозначном соответствии с его точками — полюсами этих плоскостей, причём углы между плоскостями равны расстояниям между соответствующими точками. Таким образом, плоскости неевклидова пространства Римана, если считать углы между ними расстояниями, образуют модель того же пространства^[12].

В евклидовой плоскости расстояние от начала координат ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle M(x,y)}$ выражается (в прямоугольных координатах) формулой

${\displaystyle OM^{2}=x^{2}+y^{2}}$, а расстояние между двумя произвольными точками ${\displaystyle M_{1}(x_{1},y_{1})}$ и ${\displaystyle M_{2}(x_{2},y_{2})}$ — формулой

${\displaystyle M_{1}M_{2}^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

Угол ${\displaystyle \varphi }$ между отрезками ${\displaystyle OM_{1}}$ и ${\displaystyle OM_{2}}$ вычисляется с помощью соотношения ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}{\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}}}$.

Рассматривая ту же самую плоскость (с введённой в ней системой координат ${\displaystyle x,y}$), вместо обычной евклидовой метрики вводят в ней новые расстояния и углы по следующим формулам:

1. ${\displaystyle OM^{2}=x^{2}-y^{2}}$,
2. ${\displaystyle M_{1}M_{2}^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}}$,
3. ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}}{{\sqrt {x_{1}^{2}-y_{1}^{2}}}{\sqrt {x_{2}^{2}-y_{2}^{2}}}}}}$.

Расстояние ${\displaystyle OM}$ является положительным действительным числом лишь в случае, если ${\displaystyle \vert {}x\vert {}>\vert {}y\vert {}}$; если же ${\displaystyle \vert {}x\vert {}<\vert {}y\vert {}}$, то расстояние ${\displaystyle OM}$ мнимо, а если ${\displaystyle \vert {}x\vert {}=\vert {}y\vert {}}$, то расстояние ${\displaystyle OM}$ равно нулю, хотя точка ${\displaystyle M}$ и не совпадает с ${\displaystyle O}$. Соответственно этому в плоскости с таким определением длин и углов существуют три разных типа прямых: прямые, все отрезки которых имеют положительную действительную длину; прямые, все отрезки которых имеют мнимую длину; прямые, все отрезки которых имеют нулевую длину.

Плоскость, в которой длины определяются формулой ${\displaystyle OM^{2}=x^{2}-y^{2}}$ или ${\displaystyle M_{1}M_{2}^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}}$, в некоторых отношениях очень близка к обычной евклидовой плоскости. Однако в ряде отношений она резко отличается от плоскости Евклида. Эту плоскость принято называть псевдоевклидовой плоскостью. Так как соответствующая геометрическая схема была впервые развита немецким математиком и физиком Германом Минковским, то псевдоевклидову плоскость называют также неевклидовой плоскостью Минковского^[13].

Для данной прямой ${\displaystyle l}$ плоскости ${\displaystyle \pi }$, через ${\displaystyle [l]}$ обозначают несобственный пучок прямых, параллельных прямой ${\displaystyle l}$. Этот пучок ${\displaystyle [l]}$ называют несобственной точкой плоскости ${\displaystyle \pi }$. Остальные её точки называют собственными. Добавив к плоскости ${\displaystyle \pi }$ все её несобственные точки, обозначают это новое множество через ${\displaystyle {\bar {\pi }}}$. Прямые ${\displaystyle l}$ плоскости ${\displaystyle \pi }$, к каждой из которых добавлена несобственная точка ${\displaystyle [l]}$, называются собственными прямыми в множестве ${\displaystyle {\bar {\pi }}}$. Эти прямые обозначаются теми же символами ${\displaystyle l}$. Несобственная точка ${\displaystyle [l]}$ называется несобственной точкой прямой ${\displaystyle l}$. Множество ${\displaystyle {\bar {\pi }}\setminus \pi }$ всех несобственных точек называется несобственной прямой новой (расширенной) плоскости ${\displaystyle {\bar {\pi }}}$.

Множество ${\displaystyle {\bar {\pi }}}$ с выделенными в нём собственными и несобственными прямыми называется пополненной плоскостью. 

Несобственные точки пополненной плоскости называются также бесконечно удалёнными, несобственная прямая — бесконечно удалённой прямой.

Проективной плоскостью ${\displaystyle S}$ называется произвольное множество, элементы которого именуются точками, и набор его подмножеств, именуемых прямыми, если при этом выполняются аксиомы П1–П4. 

Аксиомы

Далее выражения «точка инцидентна прямой» и «прямая инцидентна точке» означают, что данная точка принадлежит данной прямой.

• П1. Любые две различные точки плоскости инцидентны одной и только одной прямой.
• П2. Любые две прямые плоскости инцидентны одной и только одной точке.
• П3. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.
• П4. Каждая прямая инцидентна по меньшей мере трём точкам.

Две проективные плоскости ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ называются изоморфными, если существует биекция ${\displaystyle f:S_{1}\to S_{2}}$, которая переводит точки в точки, прямые в прямые и сохраняет отношение инцидентности. Вещественной проективной плоскостью называется проективная плоскость, изоморфная пополненной плоскости. Вещественную проективную плоскость иногда называют просто проективной плоскостью.

Множество всех прямых и плоскостей трёхмерного пространства, проходящих через данную точку ${\displaystyle O}$, называется связкой с центром ${\displaystyle O}$ или связкой ${\displaystyle O}$. Прямые связки называются лучами. Луч и плоскость связки ${\displaystyle O}$ инцидентны между собой, если данный луч лежит в данной плоскости. Если назвать лучи связки «точками», а её плоскости — «прямыми», то очевидно, что связка удовлетворяет аксиомам П1-П4, то есть является проективной плоскостью^[14].