Компланарные векторы. Разложение по трём некомпланарным векторам

Если некоторые векторы принадлежат одной плоскости или параллельны ей, то их называют компланарными векторами.

Условие компланарности векторов:

Векторы ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ и ${\displaystyle {\vec {c}}}$ — компланарны, если ${\displaystyle {\vec {c}}=\lambda {\vec {a}}+\mu {\vec {b}}}$, где ${\displaystyle \lambda ^{2}+\mu ^{2}\neq 0}$

Для произвольного вектора ${\displaystyle {\vec {m}}}$ всегда существует разложение: ${\displaystyle {\vec {m}}=\lambda {\vec {a}}+\mu {\vec {b}}+\nu {\vec {c}}}$ по трём некомпланарным векторам ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ и ${\displaystyle {\vec {c}}}$, где ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$ — единственные числа.

При работе с векторами часто вводят некоторую декартову систему координат и в ней определяют координаты вектора, раскладывая его по базисным векторам. Разложение по базису геометрически можно представить при помощи проекций вектора на координатные оси. Если известны координаты начала и конца вектора, координаты самого вектора получаются вычитанием из координат конца вектора координат его начала.

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=(AB_{x},AB_{y},AB_{z})=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_{z})}$

За базис часто выбирают координатные орты, обозначаемые ${\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}}$, соответственно осям ${\displaystyle x,y,z}$. Тогда вектор ${\displaystyle {\vec {a}}}$ можно записать как

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}}$