Опыт Дэвиссона — Джермера

С 1921 года Клинтон Дж. Дэвиссон вместе с Чарльзом Генри Кунсманом публиковал различные статьи о рассеянии электронов кристаллами различных металлов (никель, алюминий, платина и магний)^[1][2][3][4]. В 1925 году молодой аспирант Вальтер Мориц Эльзессер из Гёттингенского университета заметил, что волновую природу материи можно исследовать с помощью экспериментов по рассеянию в кристаллических твёрдых телах. С помощью рассеяния рентгеновских лучей в экспериментах с кристаллическими твёрдыми телами была подтверждена волновая природа рентгеновских лучей^{[5][6][7][8][9][9]}. Эльзессер основывался на докторской диссертации 1924 года французского физика Луи де Бройля, в которой тот сформулировал революционную гипотезу о том, что вся материя, в том числе и электроны, атомы или молекулы, обладает как корпускулярными, так и волновыми свойствами, и определил длину волны, связанную с частицей^[10][11][12] как:

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{m\,v}}\,,}$

где ${\displaystyle \lambda }$ — длина волны, связанная с частицей массы ${\displaystyle m}$, движущейся со скоростью ${\displaystyle v}$, а ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка. Произведение ${\displaystyle mv}$ — модуль вектора ${\displaystyle {\vec {p}}}$, или импульс частицы^[11][13].

Летом 1926 года Макс Борн рассказал об идее Эльзессера физикам, собравшимся в Оксфорде на конференции Британской ассоциации содействия развитию науки. Присутствовавший на конференции Клинтон Дж. Дэвиссон осознал важность и значимость открытия и обсудил его с Оуэном У. Ричардсоном, Максом Борном и Джеймсом Франком, которые также рассказали ему о новой теории — волновой механике, статью о которой недавно опубликовал Эрвин Шрёдингер^[14][15][16]. С этой информацией Дэвиссон отправился в Нью-Йорк, чтобы продемонстрировать корпускулярную-волновую природу электронов^[17][16].

В 1925 году Клинтон Дж. Дэвиссон и Лестер Х. Джермер работали в Bell Laboratories в Нью-Йорке, принадлежащей американской телекоммуникационной компании American Telephone and Telegraph (AT&T), исследуя отражение электронов металлами. У них произошёл несчастный случай с вакуумной колбой, содержащей кусок поликристаллического никеля, когда сосуд с жидким воздухом взорвался и разбил её, в результате чего горячий никель подвергся окислению кислородом жидкого воздуха. Чтобы удалить образовавшийся оксид никеля, его осторожно нагревали в потоке водорода и в вакууме до высоких температур. Это привело к превращению поликристаллического кристалла в монокристаллический в некоторых участках кристалла, и когда Дэвиссон и Джермер повторили эксперимент, то заметили, что предыдущие результаты не воспроизводятся. Максимальный отражённый пучок электронов наблюдался при том же угле, как и от рентгеновских лучей^[18]. Это случайное событие привело к изменению их исследований и использованию образцов монокристаллического никеля^[7][6][19].

Устройство, использованное Дэвиссоном и Джермером, состояло из электронной пушки, которая генерировала пучок за счёт термоэлектронной эмиссии из вольфрамовой ленты, нагретой посредством эффекта Джоуля. После того, как испускаемые электроны попадали в небольшую камеру, они ускорялись с помощью разности потенциалов порядка десятков вольт (между 15 В и 350 В). Ускоренный пучок диаметром 1 мм направлялся на монокристалл никеля, расположенный в 7 мм от выхода электронов, падающих нормально к шлифованной поверхности^[20]. Мишень представляла собой монокристалл никеля размерами 8 × 5 × 3 мм, который можно было вращать вокруг оси падения электронного пучка. Никель имеет гранецентрированную кристаллическую структуру кубического типа. Грань, на которую падал электронный пучок, была параллельна кристаллографической плоскости, определяемой индексами Миллера (111)^[21].

Электроны дифрагировали на атомах никеля и выходили под определённым углом, который мог быть определён детектором, состоящим из двойной клетки Фарадея и гальванометра, способного поворачиваться на 20° и 90° по отношению к направлению падающего луча, при этом в то же самое время измеряли интенсивность электронного луча. Оба луча двигались в камере, в которой создавался вакуум при давлении от 2 · 10 ⁻⁶ мм рт. ст. до 3 · 10⁻⁶ мм рт. ст.^[21]

Дэвиссон и Джермер заметили, что когда ускоряющиеся электроны ударяются о поверхность никеля, возникают максимумы интенсивности, которые нельзя объяснить, рассматривая электрон как частицу, сталкивающуюся с поверхностью, заполненной сферическими атомами никеля, которые должны были бы рассеивать электроны во всех направлениях. Наиболее интенсивный максимум был достигнут при ускорении электронов с разностью потенциалов ${\displaystyle \triangle V=54\;V}$ против ориентированного кристалла никеля со слоями атомов, перпендикулярными направлению падения^[20]. В данном случае имела место дифракция на отражение электронов с максимальной интенсивностью при ${\displaystyle \alpha =50^{\circ }}$ от направления падения^[22].

Однако наблюдаемое явление было похоже на дифракцию рентгеновских лучей на кристаллической поверхности, открытую в 1912 году немецким физиком Максом фон Лауэ с его сотрудниками Паулем Книппингом и Вальтером Фридрихом, что позволило ему определить волновой характер рентгеновских лучей, рассматривая их как пучки частиц высокой энергии. Рентгеновская дифракция была изучена в 1913 году Уильямом Лоуренсом Брэггом и Уильямом Генри Брэггом, которые смогли связать максимальные интенсивности с расстояниями между слоями атомов кристалла^[21][23].

Рентгеновская дифракция возникает из-за того, что это электромагнитное излучение имеет очень короткие длины волн, от 10 нм до 100 пм, что сравнимо с межатомными расстояниями в кристаллах (постоянная решётки в никеле ${\displaystyle D=215\;pm}$)^[20]. В этом случае имеет место зеркальное рассеяние за счёт отражения атомами кристалла, а различные дифрагированные лучи интерферируют конструктивно и деструктивно. Первые усиливают интенсивность луча, а вторые ослабляют её^[22].

В эксперименте Дэвиссона и Джермера регистрируются данные о конструктивной интерференции. Условие конструктивной интерференции соседних атомов, обеспечивающее максимальную интенсивность, состоит в том, что разность путей, то есть ${\displaystyle D\,\sin \alpha }$, двух дифрагированных лучей равна длине волны ${\displaystyle \lambda }$, когда рентгеновские лучи дифрагируют. Применяя то же условие, можно вычислить длину волны дифрагированных электронов^[22]:

${\displaystyle \lambda =D\,\sin \alpha =215\,pm\cdot \sin 50^{\circ }=215\,pm\,\cdot 0,766=165\,pm\,.}$

Формула де Бройля для длины волны массовой частицы ${\displaystyle m}$, которая движется со скоростью ${\displaystyle v}$^[11]:

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{m\,v}}\,,}$

где ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка, которая равна ${\displaystyle 6,626\times 10^{-34}J\cdot s}$.

Для заряженного электрона ${\displaystyle e}$, ускоренного разностью потенциалов ${\displaystyle \triangle V}$, можно вывести скорость ${\displaystyle v}$ и массу ${\displaystyle m}$ при малых скоростях, то есть без учёта релятивистских эффектов, из уравнивания электрической работы ${\displaystyle W_{AB}=-e\,\triangle V}$ и изменения кинетической энергии между началом и концом классической траектории, ${\displaystyle \triangle K_{AB}=K_{B}-K_{A}}$. Когда электроны ускоряются из состояния покоя, ${\displaystyle v_{A}=0}$

${\displaystyle K_{B}-K_{A}={\tfrac {1}{2}}\,m\,v_{B}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\,m\,v_{A}^{2}={\tfrac {1}{2}}\,m\,v_{B}^{2}\,.}$

Сопоставление этого выражения с электрической работой приводит к выражению:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,m\,v_{B}^{2}=-e\,\triangle V\,.}$

Поскольку заряд электрона отрицателен, можно записать:

${\displaystyle v_{B}={\sqrt {\frac {2\,e\,\triangle V}{m}}}\,.}$

Длина волны де Бройля составит^[20]:

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{\sqrt {2\,m\,e\,\triangle V}}}\,.}$

Если подставить численные значения ${\displaystyle h=6,626\times 10^{-34}J\cdot s}$; ${\displaystyle m=9,1\times 10^{-31}kg}$; ${\displaystyle e=1,602\times 10^{-19}C}$ и ${\displaystyle \triangle V=54\;V}$ получим^[20]:

${\displaystyle \lambda =1,67\times 10^{-10}\;m=167\;pm\,.}$

Это значение совпадает в пределах эксперимента со значением, полученным Дэвиссоном и Джермером, что подтверждает гипотезу де Бройля. Это подтверждается и данными, полученными в опытах с другими напряжениями и с пучками электронов, попадающими на разные поверхности кристалла^[24].

Дифракция электронов, как и рентгеновские лучи, происходит в определённых предпочтительных направлениях, предполагающих участие нескольких слоёв параллельных плоскостей атомов никеля внутри кристалла. Из-за его малой длины рентгеновские лучи обладают хорошей проникающей способностью. Формула Брэгга имеет вид:

${\displaystyle 2\,d\,\sin \theta =n\,\lambda }$

где:

• ${\displaystyle d}$ — расстояние между двумя кристаллографическими плоскостями;
• ${\displaystyle \theta }$ — угол дифракции, угол между падающим лучом и кристаллографическим направлением или плоскостью кристалла, участвующего в дифракции;
• ${\displaystyle n}$ — порядок дифракции (1, 2, 3,. . .);
• ${\displaystyle \lambda }$ — длина волны электронов^[25].

В эксперименте Дэвиссона и Джермера с монокристаллическим никелем пучок электронов проникает внутрь кристалла и отражается в разных параллельных плоскостях, разделённых расстоянием ${\displaystyle d=91\,pm}$ и с углом дифракции ${\displaystyle \theta =65^{\circ }}$. Применение формулы Брэгга к максимуму первого порядка ${\displaystyle n=1}$ даёт

${\displaystyle \lambda =2\,d\,\sin \theta =2\cdot 91\,pm\cdot \sin 65^{\circ }=165\,pm}$^[26].

Межатомное расстояние, ${\displaystyle D}$, можно связать с расстоянием между кристаллографическими плоскостями, ${\displaystyle d}$, и углом ${\displaystyle \alpha }$ между падающим и дифрагированным лучами. Половина этого угла равна углу, образованному поверхностью кристалла и направлением кристаллографических плоскостей, так как отражение электронного луча подчиняется закону отражения (падающий и отражённый лучи образуют такой же угол, как нормаль к поверхности отражения). Таким образом, угол между падающим и нормальным лучом равен ${\displaystyle \alpha /2}$, и эти два направления перпендикулярны поверхности кристалла и кристаллографической плоскости соответственно, поэтому они образуют один и тот же угол ${\displaystyle \alpha /2}$ . Связь оказывается

${\displaystyle d=D\,\sin {\tfrac {\alpha }{2}}}$

Угол между падающим лучом и кристаллографической плоскостью, ${\displaystyle \theta }$, равен ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-{\tfrac {\alpha }{2}}}$. Формулу Брэгга можно переписать в терминах этого угла и упростить, используя тригонометрическое тождество ${\displaystyle \sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\beta \right)=\cos \beta }$

${\displaystyle 2\,d\,\sin \,\theta =2\,d\,\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-{\tfrac {\alpha }{2}}\right)=2\,d\,\cos {\tfrac {\alpha }{2}}=n\,\lambda }$

Если заменить ${\displaystyle d}$

${\displaystyle 2\,D\,\sin {\tfrac {\alpha }{2}}\,\cos {\tfrac {\alpha }{2}}=n\,\lambda }$

или, используя тригонометрическое тождество двойного угла ${\displaystyle 2\,\sin \beta \,\cos \beta =\sin 2\beta }$

${\displaystyle D\,\sin \alpha =n\,\lambda }$

это уравнение используется для демонстрации в случае отражения от поверхности^[22].

В то же время, когда Дэвиссон и Джермер проводили свои эксперименты в Англии, Джордж Паджет Томсон, сын Джозефа Джона Томсона, открывшего электрон, провёл аналогичные эксперименты, направляя катодные лучи на пластины из различных материалов, таких как целлулоида, золота или платины и сфотографировал на экране позади пластины серию концентрических колец, подобных тем, которые образуются при дифракции волн. Объяснение заключалось в том, что катодные лучи, состоящие из электронов, имели волновое поведение, как и предсказывал Луи де Бройль в 1924 году^[27][28]. Аналогично Томсоновским опытам, рассеянием катодных лучей в поликристаллических фольгах в Советском Союзе занимался Пётр Саввич Тартаковский^[29], который также наблюдал концентрические круги на фотопластинке. Концентрические круги формируются из-за осевой симметрии задачи и произвольной ориентации кристаллитов в поликристалле. Дифрагирующие электроны под углом θ (максимум при выполнении условия Брэгга — Вульфа) формируют конус с углом при вершине 2θ. Томпсон использовал быстрые электроны с энергией от 17,5 до 56,5 кэВ, а Тартаковский — 1,7 кэВ^[30].

Через несколько лет после открытия дифракции электронов, корпускулярно-волновой дуализм был также продемонстрирован для атомов и молекул. Атомы гелия и молекулы водорода дифрагировали на поверхности кристалла (100) фторида лития LiF^[31], фторида натрия NaF и хлорида натрия NaCl, а атомы водорода дифрагировали на поверхности LiF^[32]. В 1936 году удалось наблюдать дифракцию тепловых нейтронов, источником которых был радиево-бериллиевый сплав^[33].

Доказательства волновой природы электронов были настолько убедительны, что в 1929 году, всего через два года после публикации статей, Луи де Бройль был удостоен Нобелевской премии по физике за это открытие. В 1933 году Эрвин Шрёдингер получил Нобелевскую премию по физике за разработку волновой квантовой механики, а в 1937 году Клинтон Джозеф Дэвиссон и Джордж Паджет Томсон также были удостоены Нобелевской премии по физике за их независимо сделанные открытия дифракции электронов в кристаллах^[34][32]. Макс Джеммер по этому поводу сказал^[35]:

С другой стороны, результатом эксперимента Дэвиссона — Джермера стала аналитическая методика, называемая дифракцией низкоэнергетических электронов, которая используется для изучения поверхностей кристаллов и процессов, происходящих в них. При этом электроны имеют энергии между 10 эВ и 200 эВ, что соответствует длинам волн между 100 пкм и 400 пкм. Таким образом можно изучать только поверхности, так как эти электроны дифрагируют только на атомах поверхности или ближайших к ней атомах^[36].