Лаговый оператор

Ла́говый оператор — оператор сдвига, позволяющий получить значения элементов временного ряда на основании ряда предыдущих значений.

Для временного ряда ${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}\,}$ лаговый оператор представим в виде:

${\displaystyle L^{k}X_{t}=X_{t-k}}$,

при этом:

• ${\displaystyle L^{0}=1}$,
• ${\displaystyle L\mu =\mu }$ (${\displaystyle \mu ={\text{const}}}$),
• ${\displaystyle L^{-1}X_{t}=X_{t+1}}$.

При этом оператор ${\displaystyle \Delta =1-L}$ создаёт конечную разность 1-го порядка: ${\displaystyle \Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-1}}$^[1].

С лаговым оператором неразрывно связано понятие лагового многочлена:

${\displaystyle \Theta (L)=\sum _{i=0}^{N}\theta _{i}L_{i}}$^[2][3].

Лаговые многочлены находят своё применение при записи моделей временных рядов^[4]. Например, для многочленов ${\displaystyle \alpha (L)=\sum _{i=0}^{N}\alpha _{i}L_{i}}$ и ${\displaystyle \beta (L)=\sum _{j=0}^{M}\beta _{j}L_{j}}$ написания моделей сводятся к следующим:

Модель	Запись
AR(i)	${\displaystyle \alpha (L)y_{t}=\epsilon _{t}}$
MA(j)	${\displaystyle y_{t}=\beta (L)\epsilon _{t}}$
ARMA(i, j)	${\displaystyle \alpha (L)y_{t}=\beta (L)\epsilon _{t}}$

где ${\displaystyle \epsilon _{t}}$ — белый шум.

В этом случае теорема Волда может быть представлена в виде:

${\displaystyle y_{t}=\gamma (L)\epsilon _{t}}$,

где:

${\displaystyle \gamma (L)={\frac {\beta (L)}{\alpha (L)}}\ =\sum _{k=0}^{\infty }\gamma _{k}L_{k}}$ (${\displaystyle \gamma (0)=1}$)^[1].