Монотонная последовательность

Пусть имеется множество ${\displaystyle X}$, на котором введено отношение порядка.

Последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ элементов множества ${\displaystyle X}$ называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — неубывающая ${\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1}}$.

Последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ элементов множества ${\displaystyle X}$ называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — невозрастающая ${\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1}}$.

Последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ элементов множества ${\displaystyle X}$ называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — возрастающая ${\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}<x_{n+1}}$.

Последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ элементов множества ${\displaystyle X}$ называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — убывающая ${\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1}}$.

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей^[1].

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, а лишь для номеров из некоторого диапазона:

${\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n<N_{+}\}}$

(здесь допускается обращение правой границы ${\displaystyle N_{+}}$ в бесконечность).

В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке ${\displaystyle I}$, а сам диапазон ${\displaystyle I}$ — промежутком монотонности последовательности.

• Последовательность натуральных чисел.
  • ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}=n}$.
  • Начальные отрезки: ${\displaystyle (1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots )}$.
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Последовательность Фибоначчи.
  • ${\displaystyle x_{n}={\begin{cases}1,&n=1\lor n=2\\x_{n-1}+x_{n-2},&n\geqslant 3\end{cases}}}$
  • Начальные отрезки: ${\displaystyle (1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots )}$.
  • Неубывающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Геометрическая прогрессия с основанием ${\displaystyle 1/2}$.
  • ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}}$.
  • Начальные отрезки: ${\displaystyle (1,1/2,1/4,1/8,1/16,\cdots )}$.
  • Убывающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность, сходящаяся к числу e.
  • ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$.
  • Начальные отрезки: ${\displaystyle (2,9/4,64/27,625/256,\cdots )}$.
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел, но сходится к трансцендентному числу.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность рациональных чисел вида ${\displaystyle x_{n}=\,\!(n-5)^{2}}$ не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке ${\displaystyle \{1,\,\!2,3,4\}}$ и (строго) возрастает на промежутке ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid n\geqslant 5\}}$.

• Ограниченность.
  • Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.
  • Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.
  • Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

• Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.(Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях)
  • Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.
  • Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.