Контактное число

В одномерном случае не более двух отрезков единичной длины могут касаться такого же отрезка:

В двумерном случае можно интерпретировать задачу как нахождение максимального числа монет, касающихся центральной. Из рисунка видно, что разместить можно до 6 монет:

Это значит, что ${\displaystyle N(2)\geqslant 6}$. С другой стороны, каждая касающаяся окружность отсекает на центральной окружности дугу в 60°, и эти дуги не пересекаются, значит ${\displaystyle N(2)\leqslant 360/60=6}$. Видно, что в данном случае оценки сверху и снизу совпали и ${\displaystyle N(2)=6}$.

В трёхмерном случае речь идет о шарах. Здесь также легко построить пример с 12 шарами, касающимися центрального — они расположены в вершинах икосаэдра — поэтому ${\displaystyle N(3)\geqslant 12}$. Данная нижняя оценка была известна ещё Ньютону.

Это расположение неплотное, между шарами будут довольно заметные зазоры. Оценка сверху стала причиной известного спора между Ньютоном и Д. Грегори в 1694 году. Ньютон утверждал, что ${\displaystyle N(3)=12}$, а Грегори возражал, что может быть можно расположить и 13 шаров. Он провёл вычисления и выяснил, что площадь центрального шара более чем в 14 раз больше площади проекции каждого из касающихся шаров, так что ${\displaystyle N(3)\leqslant 14}$. Если позволить менять радиусы шаров на 2 %, то оказывается возможным прислонить до 14 шаров.

Лишь в 1953 году в статье Шютте и ван дер Вардена^[4] была окончательно установлена правота Ньютона, несмотря на отсутствие у того строгого доказательства.

В четырёхмерном случае представить себе шары достаточно сложно. Размещение 24 четырёхмерных сфер вокруг центральной было известно давно, оно столь же регулярное, как и в двумерном случае и решает одновременно и задачу о контактном числе на решётке. Это то же размещение, что у целых единичных кватернионов.

В явном виде это расположение было указано в 1900 году Госсетом^[5]. Ещё раньше оно было найдено (в эквивалентной задаче) в 1872 году российскими математиками Коркиным и Золотарёвым^[6][7]. Это расположение дало оценку снизу ${\displaystyle N(4)\geqslant 24}$.

Попытки оценить это число сверху привели к развитию тонких методов теории функций, но не давали точного результата. Сначала удалось доказать, что ${\displaystyle N(4)\leqslant 26}$, потом удалось снизить верхнюю границу до ${\displaystyle N(4)\leqslant 25}$. И наконец в 2003 году российскому математику Олегу Мусину удалось доказать, что ${\displaystyle N(4)=24}$^[8].

В размерностях 8 и 24 точная оценка была получена в 1970-е годы^[9][10]. Доказательство основано на равенстве контактного числа и контактного числа на решётке в этих размерностях: решётки E8 (для размерности 8) и решётки Лича (для размерности 24).

В настоящее время точные значения контактных чисел известны только для ${\displaystyle n\leq 4}$, а также для ${\displaystyle n=8}$ и ${\displaystyle n=24}$. Для некоторых других значений известны верхние и нижние оценки.

Задача имеет практическое применение в теории кодирования. В 1948 году Клод Шеннон опубликовал работу по теории информации, показывающую возможность передачи данных без ошибок в зашумленных каналах связи используя координаты упаковки единичных сфер в n-мерном пространстве. См. также Расстояние Хэмминга.