Интерполяция

Рассмотрим систему несовпадающих точек ${\displaystyle x_{i}}$ (${\displaystyle i\in {0,1,\dots ,N}}$) из некоторой области ${\displaystyle D}$. Пусть значения функции ${\displaystyle f}$ известны только в этих точках:

${\displaystyle y_{i}=f(x_{i}),\quad i=1,\ldots ,N.}$

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции ${\displaystyle F}$ из заданного класса функций, что

${\displaystyle F(x_{i})=y_{i},\quad i=1,\ldots ,N.}$

• Точки ${\displaystyle x_{i}}$ называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
• Пары ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ называют точками данных или базовыми точками.
• Разность между «соседними» значениями ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.
• Функцию ${\displaystyle F(x)}$ — интерполирующей функцией или интерполянтом.

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений ${\displaystyle x}$ определяет соответствующие значения ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle f(x)}$
0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполяция помогает нам узнать, какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных точек (например, при x = 2,5).

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).

${\displaystyle ?=15.5+{\frac {(6378-6000)}{8000-6000}}*{\frac {(19.2-15.5)}{1}}=16.1993}$

Математическое обоснование выбора метода интерполяции базируется на характере исходных данных, требованиях к гладкости и поведении погрешности результирующей функции. Главные критерии выбора с точки зрения математики:

• количество точек и осцилляции (Эффект Рунге). Глобальная полиномиальная интерполяция (единственный многочлен высоких степеней) математически обоснована только для малого числа точек (${\displaystyle n<5..7}$);
• требования к гладкости (дифференцируемость). Выбор степени полинома внутри интервалов зависит от порядка производных, которые должны быть непрерывны;
• распределение узлов на отрезке. Равномерная сетка (высокий риск эффекта Рунге. Обоснован выбор локальных методов (сплайны) или тригонометрической интерполяции) и неравномерная сетка (если точки можно выбирать, математика требует использовать узлы Чебышёва);
• размерность пространства. Для 1D данных применимы любые классические полиномы и сплайны. Для 2D / 3D данных на регулярной сетке применяется тензорное произведение одномерных методов — билинейная или бикубическая интерполяция. Для неструктурированных (хаотичных) облак точек математически обосновано применение радиально-базисных функций или триангуляции Делоне с методом Вороного (интерполяция соседа), так как обычные многочлены в многомерном хаотичном пространстве приводят к вырожденным матрицам Вандермонда;
• наличие шума в данных. Если исходные значения точные, то строгая интерполяция (кривая обязана проходить через узлы). Если данные содержат случайную погрешность или шум математически интерполяция противопоказана. Вместо неё обоснован выбор аппроксимации (метода наименьших квадратов — МНК), который сглаживает шум, минимизируя среднеквадратичное отклонение.

• Экстраполяция — методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
• Ретрополяция — методы нахождения по известным значениям переменной её неизвестных значений в начале динамического ряда.
• Аппроксимация — методы построения приближённых кривых