Теорема Риса — Торина

Теорема Риса — Торина — утверждение о свойствах интерполяционных пространств. Была сформулирована в 1926 году Марселем Рисом^[1], и в операторной форме сформулирована и доказана Улофом Ториным в 1939 году^[2][3].

Согласно теореме, для двух пространств ${\displaystyle (\Omega _{1},\Sigma _{1},\mu _{1})}$ и ${\displaystyle (\Omega _{2},\Sigma _{2},\mu _{2})}$ с мерами ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$ соответственно и двух банаховых пространств комплекснозначных функций ${\displaystyle L_{p}(\Omega _{i})}$, суммируемых с ${\displaystyle p}$-й степенью ${\displaystyle (p\geqslant 1)}$ по мерам ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2)}$, тройка банаховых пространств ${\displaystyle (L_{p_{0}}(\Omega _{1}),L_{p_{1}}(\Omega _{1}),L_{p}(\Omega _{1}))}$ является нормально интерполяционной типа ${\displaystyle \alpha }$ относительно тройки ${\displaystyle (L_{q_{0}}(\Omega _{2}),L_{q_{1}}(\Omega _{2}),L_{q}(\Omega _{1}))}$, если:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {1-\alpha }{p_{0}}}+{\frac {\alpha }{p_{1}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1-\alpha }{q_{0}}}+{\frac {\alpha }{q_{1}}}}$,

где ${\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant 1}$^[4]. (Тройка банаховых пространств ${\displaystyle (A,B,E)}$ является интерполяционной типа ${\displaystyle \alpha }$, где ${\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant 1}$, относительно тройки ${\displaystyle (C,D,F)}$, если она интерполяционна и выполнено неравенство ${\displaystyle \|T\|_{E\rightarrow F}\leqslant c\|T\|_{A\rightarrow C}^{1-\alpha }\|T\|_{B\rightarrow D}^{\alpha }}$^[5].)

Доказательство теоремы использует теорему о трёх прямых из теории аналитических функций^[6].