Закон Ома для магнитной цепи

Идею о том, что величину магнитного потока в магнитной цепи можно записать аналогично закону Ома для электрической цепи, первым высказал американский физик Генри Роуланд в 1873 году^[2]. Закон часто называют формулой Гопкинсона или законом Гопкинсона в честь английского физика и инженера Джона Гопкинсона (Хопкинсона), который вместе со своим братом Эдвардом в 1886 году разработал формализм для расчёта магнитных цепей.

В неразветвлённой магнитной цепи магнитный поток прямо пропорционален магнитодвижущей силе и обратно пропорционален полному магнитному сопротивлению^[3].

Рассмотрим неразветвлённую магнитную цепь, состоящую из кольца с площадью поперечного сечения ${\displaystyle S}$ из материала c магнитной проницаемостью ${\displaystyle \mu }$ и зазора из другого материала, имеющего то же сечение и магнитную проницаемость ${\displaystyle \mu _{1}}$. На кольцо надета катушка с числом витков ${\displaystyle N}$, по которой идёт ток ${\displaystyle i}$. Рассмотрим среднюю линию магнитной цепи и применим теорему о циркуляции магнитного поля.

${\displaystyle Hl+H_{1}l_{1}={\frac {4\pi Ni}{c}}.}$ (1)

Здесь ${\displaystyle H}$ — напряжённость магнитного поля внутри кольца, ${\displaystyle H_{1}}$ — напряжённость магнитного поля внутри зазора, ${\displaystyle l}$ — длина кольца, измеренная вдоль средней линии индукции, ${\displaystyle l_{1}}$ — длина зазора, ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме. Так как линии индукции непрерывны, то значения магнитного потока ${\displaystyle \Phi }$ внутри кольца и внутри зазора одинаковы. Из соотношений ${\displaystyle \Phi =BS,B=\mu H}$ выражаем напряжённость магнитного поля через поток ${\displaystyle H=\Phi /(\mu S),}$ ${\displaystyle H_{1}=\Phi /(\mu _{1}S).}$ Подставляя эти выражения в формулу (1), получаем из неё значение магнитного потока ${\displaystyle \Phi }$:

${\displaystyle \Phi ={\frac {\frac {4\pi Ni}{c}}{{\frac {l}{\mu S}}+{\frac {l_{1}}{\mu 1S}}}}.}$ (2)

Полученная формула подобна закону Ома для замкнутой электрической цепи. При этом величина ${\displaystyle F_{m}={\frac {4\pi Ni}{c}}}$ играет роль электродвижущей силы и поэтому по аналогии она получила название магнитодвижущей силы. Её отличие от электродвижущей силы состоит в том, что в магнитном потоке не движутся никакие частицы. Сумма ${\displaystyle R_{m}={\frac {l}{\mu S}}+{\frac {l_{1}}{\mu _{1}S}}}$ входит в формулу так же, как полное сопротивление электрической цепи в законе Ома, и поэтому её называют полным магнитным сопротивлением цепи. Итак, закон Ома для магнитной цепи можно записать в виде ${\displaystyle \Phi ={\frac {F_{m}}{R_{m}}}.}$ В неразветвлённой магнитной цепи магнитный поток равен частному от деления магнитодвижущей силы на полное магнитное сопротивление.