Деление (математика)

Для натуральных чисел деление означает нахождение, сколько раз одно число содержится в другом, либо нахождение количества равных частей, на которые можно разделить данное число. Если одно натуральное число не делится на другое без остатка, говорится о делении с остатком. На остаток накладывается ограничение: ${\displaystyle 0\leqslant r<|b|}$, ${\displaystyle a=b\cdot c+r}$,

где: ${\displaystyle a}$ — делимое, ${\displaystyle b}$ — делитель, ${\displaystyle c}$ — частное, ${\displaystyle r}$ — остаток.

Деление натуральных чисел не всегда выполнимо: результат будет натуральным числом только в том случае, если ${\displaystyle a}$ кратно ${\displaystyle b}$. В остальных случаях частное является рациональным числом.

Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел — достаточно поделить их модули и учесть правило знаков: частное положительно, если делимое и делитель имеют одинаковые знаки, и отрицательно, если разные.

Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, ${\displaystyle -7:(-3)=2}$ с остатком ${\displaystyle -1}$); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается, и ограничения заимствуются из натуральных чисел:

${\displaystyle -7\equiv 2{\pmod {3}}}$.

Для устранения неоднозначности принято соглашение: остаток от деления всегда неотрицателен.

Замыкание множества целых чисел по операции деления приводит к расширению его до множества рациональных чисел. Это приводит к тому, что результатом деления одного целого числа на другое всегда является рациональное число. Более того, полученные числа (рациональные) уже полностью поддерживают операцию деления (замкнуты относительно неё).

Правило деления обыкновенных дробей: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}={\frac {ad}{bc}}}$

Множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле, обозначается ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Множество вещественных чисел не является счётным, его мощность называется мощностью континуума. Арифметические операции над вещественными числами, представимыми бесконечными десятичными дробями, определяются как непрерывное продолжение^[3] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

${\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},}$

${\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},}$

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$ и ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$, то их частным называют число ${\displaystyle \gamma =[c_{n}]}$, определённое частным последовательностей ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{b_{n}\}}$:

${\displaystyle \gamma =\alpha :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]:[b_{n}]=[a_{n}/b_{n}]}$,

вещественное число ${\displaystyle \gamma =\alpha :\beta }$ удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ,\;b',b''>0;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a':b''\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b')\Rightarrow (a':b''\leqslant \gamma \leqslant a'':b').}$

Таким образом, частное двух вещественных чисел ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ (при ${\displaystyle \beta >0}$) — это такое вещественное число ${\displaystyle \gamma }$, которое содержится между всеми частными вида ${\displaystyle a':b''}$ снизу и всеми частными вида ${\displaystyle a'':b'}$ сверху^[4].Дедекиндово сечение позволяет однозначно определить результат деления.

На практике для того, чтобы разделить два числа ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. За приближённое значение частного чисел ${\displaystyle \alpha :\beta }$ берут частное указанных рациональных чисел ${\displaystyle a:b}$. При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Деление производится по алгоритму деления столбиком.

Абсолютная погрешность частного приближённых чисел: ${\displaystyle \Delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {|b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b}{b^{2}}}}$, абсолютная погрешность числа принимается равной половине последней единицы разряда этого числа.

Относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей аргументов: ${\displaystyle \delta \left({\frac {a}{b}}\right)=\delta a+\delta b}$. Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры; значащая цифра приближённого числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример деления ${\displaystyle \gamma =\pi :e}$ с точностью до 3-го знака после запятой:

• Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
• Получаем: ${\displaystyle \pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183}$;
• Делим столбиком: ${\displaystyle \gamma =\pi :e\approx 3.1416:2.7183\approx 1.1557}$;
• Округляем до 3-го знака после запятой: ${\displaystyle \gamma \approx 1.156}$.

На множестве пар вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ область значений функции деления ${\displaystyle c=a:b~}$ графически имеет вид гиперболического параболоида — поверхности второго порядка^[5].

Так как ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }$, то и для этих множеств график функции деления будет принадлежать этой поверхности.

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Частным двух комплексных чисел в алгебраической форме записи называется комплексное число, равное:

${\displaystyle z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {ab+de}{b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae}{b^{2}+e^{2}}}i,}$

где: ${\displaystyle z,z_{1},z_{2}}$ — комплексные числа, ${\displaystyle a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle i}$ — мнимая единица; ${\displaystyle z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0}$.

На практике частное комплексных чисел находят умножением делимого и делителя на число, комплексно-сопряжённое делителю:

${\displaystyle z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {(a+di)(b-ei)}{(b+ei)(b-ei)}}={\frac {ab+de}{b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae}{b^{2}+e^{2}}}i,}$${\displaystyle ~~z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0;}$

делитель становится действительным числом, а в числителе умножаются два комплексных числа, затем полученная дробь почленно делится. Результат определён для всех ${\displaystyle b+ei\neq 0=0+0i}$.

Для того чтобы разделить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, а из аргумента делимого вычесть аргумент делителя:

${\displaystyle z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})),}$

где ${\displaystyle r_{1}=|z_{1}|={\sqrt {a^{2}+d^{2}}},\;r_{2}=|z_{2}|={\sqrt {b^{2}+e^{2}}}}$ — модули, а ${\displaystyle \varphi _{1}=\operatorname {Arg} (z_{1}),\;\varphi _{2}=\operatorname {Arg} (z_{2})}$ — аргументы комплексных чисел (определение аргумента см. Комплексное число#Аргумент); ${\displaystyle z_{2}\neq 0,~r_{2}\neq 0}$.

То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент — разности аргументов делимого и делителя.

Деление комплексного числа ${\displaystyle z_{1}=a+di=r_{1}e^{i\varphi _{1}}}$ в показательной форме на комплексное число ${\displaystyle z_{2}=b+ei=r_{2}e^{i\varphi _{2}}}$ сводится к повороту вектора, соответствующего числу ${\displaystyle z_{1}}$, на угол ${\displaystyle \operatorname {Arg} (z_{2})}$ и изменению его длины на ${\displaystyle |z_{2}|}$ раз. Для частного комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

${\displaystyle z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})};}$

где: ${\displaystyle e=2{,}718281828\dots }$ — число e; ${\displaystyle z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0}$.

В экспоненциальной записи числа записываются в виде ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n}}$, где ${\displaystyle x}$ — мантисса, ${\displaystyle P^{n}}$ — характеристика числа, ${\displaystyle P}$ — основание системы счисления, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$. Для деления двух чисел, записанных в экспоненциальной форме, необходимо разделить мантиссы и характеристики: ${\displaystyle (a\cdot P^{n}):(b\cdot P^{k})=(a:b)\cdot (P^{n}:P^{k})={\frac {a}{b}}\cdot P^{n-k}.}$

Например:

${\displaystyle (6{,}34\cdot 10^{4}):~(2{,}16\cdot 10^{-2})=(6{,}34:~2{,}16)\cdot (10^{4}:10^{-2})\approx 2{,}935\cdot 10^{(4-(-2))}\approx 2{,}94\cdot 10^{4+2}\approx 2{,}94\cdot 10^{6}.}$