Фотонный двигатель

Скорость, которую может развить идеальный фотонный двигатель (в системе отсчёта, где изначально ракета покоится), при отсутствии внешних сил определяется соотношением начальной и конечной массы аппарата:

${\displaystyle v=c{\frac {\left({\frac {m_{\text{i}}}{m_{\text{f}}}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m_{\text{i}}}{m_{\text{f}}}}\right)^{2}+1}}}$

где ${\displaystyle m_{\text{i}}}$ — начальная масса, ${\displaystyle m_{\text{f}}}$ — конечная масса^[6].

Например, если космический корабль оснащён ядерным реактором на чистом гелии-3 и имеет начальную массу 2300 кг (из них 1000 кг — гелий-3, при этом 2,3 кг вещества полностью превращается в энергию^[a]). Если вся эта энергия преобразуется в фотоны, направленные против движения, и продукты слияния (гелий-4 и водород) остаются на борту, конечная масса составит 2297,7 кг, а корабль достигнет скорости 1/1000 скорости света. Если выбросить продукты реакции в космос, скорость будет больше, но приведённая формула уже неприменима, поскольку не вся потеря массы переходит в энергию.

Фактор гамма для фотонной ракеты вычисляется выражением:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}\left({\frac {m_{\text{i}}}{m_{\text{f}}}}+{\frac {m_{\text{f}}}{m_{\text{i}}}}\right)}$

Для 10 % от скорости света фактор γ ≈ 1,005, что означает, что ${\displaystyle {\frac {m_{\text{f}}}{m_{\text{i}}}}}$ близко к 0,9.

Пусть четырёхимпульс ракеты в покое — ${\displaystyle P_{\text{i}}}$, после сжигания топлива — ${\displaystyle P_{\text{f}}}$, а испущенных фотонов — ${\displaystyle P_{\text{ph}}}$. Закон сохранения четырёхимпульса даёт:^[7][8]

${\displaystyle P_{\text{ph}}=P_{\text{i}}-P_{\text{f}}}$

Возводя обе части в квадрат (беря скалярное произведение в пространстве Минковского), получим:

${\displaystyle P_{\text{ph}}^{2}=P_{\text{i}}^{2}+P_{\text{f}}^{2}-2P_{\text{i}}\cdot P_{\text{f}}.}$

Согласно уравнению энергоимпульса ${\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2}}$, квадрат четырёхимпульса равен квадрату массы. Для фотонов ${\displaystyle P_{\text{ph}}^{2}=0}$, так как масса покоя у них равна нулю.

В начальной системе отсчёта (ракета покоится):

${\displaystyle {P}_{\text{i}}={\begin{pmatrix}{\frac {{m}_{\text{i}}c^{2}}{c}}\\0\\0\\0\end{pmatrix}},}$

после выработки топлива:

${\displaystyle {P}_{\text{f}}={\begin{pmatrix}\ {\gamma }{m}_{\text{f}}c\\{\gamma }{m}_{\text{f}}{v}_{\text{f}}\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Таким образом:

${\displaystyle 0=m_{\text{i}}^{2}+m_{\text{f}}^{2}-2m_{\text{i}}m_{\text{f}}\gamma .}$

Отсюда для гамма-фактора

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}\left({\frac {m_{\text{i}}}{m_{\text{f}}}}+{\frac {m_{\text{f}}}{m_{\text{i}}}}\right).}$

Согласно классической теории, максимальная скорость фотонного двигателя всегда меньше скорости света. Согласно недавней работе Хауга^[9], теоретически существует предел скорости, лишь немного не достигающий скорости света, однако это предположение подвергнуто критике Томмазини и др^[6].. Их доводы основаны на том, что такая скорость выводится для релятивистской массы и зависит от системы отсчёта.

Независимо от характеристик фотонного генератора, реальные фотонные двигатели на бортовой ядерной или термоядерной энергии имеют лимиты скорости из-за ограниченной эффективности этих процессов. Пусть масса аппарата M, а масса топлива — αM (где α < 1), η — эффективность преобразования массы топлива в энергию системы, δ — эффективность преобразования энергии системы в фотоны (δ ≪ 1). Максимальная энергия фотонного потока:

${\displaystyle E_{\text{p}}=\alpha \gamma \delta Mc^{2}}$

Если все фотоны направляются идеально против движения, то тяга составит:

${\displaystyle T_{\text{p}}={\frac {E_{\text{p}}}{c}}=\alpha \gamma \delta Mc}$

Максимальная достижимая скорость (для V ≪ c):

${\displaystyle V_{\text{max}}={\frac {T_{\text{p}}}{M}}=\alpha \gamma \delta c}$

Например, предельные скорости для фотонных двигателей с бортовыми ядерными генераторами с типичными параметрами приведены в таблице. Для ядерных фотонных двигателей эта скорость не превышает 0,02 % от скорости света (60 000 м/с), что делает такие установки непригодными для межзвёздных экспедиций.

При этом лазерное дистанционное питание (например, фотонные лазерные движители) теоретически может обеспечить достижение скоростей, близких к скорости света.