Грушевидная квартика

Грушеви́дная кварти́ка (англ. piriform quartic^[1][2][3]; pear-shaped quartic^[1][5][6]; pear-shaped curve^[1]) — антигиперболизм окружности ${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ радиуса ${\displaystyle a}$ с началом координат на окружности и прямой ${\displaystyle x=b}$, перпендикулярной диаметру окружности с концом в начале координат^[2], определяется следующим уравнением в декартовых координатах^[8]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2}}$

или

${\displaystyle y=\pm {\frac {x}{b}}{\sqrt {2ax-x^{2}}}.}$

Синонимы:

• капля (англ. drop of water)^[2];
• колышек (англ. peg-top)^[1][2].

Грушевидная квартика — это кривая, обладающая следующими простыми свойствами^[7]:

• ограниченная и замкнутая;
• связная;
• имеет одну особую точку — касп;
• имеет одну ось симметрии.

Приведённое выше уравнение грушевидной квартики в декартовой системе координат

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2}}$

(с площадью ${\displaystyle S={\frac {\pi a^{3}}{b}}}$ области, ограниченной грушевидной квартикой^[2][7][6][3]) может быть записано по-другому:

• В виде следующего канонического уравнения эллипса^[2]:

${\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}=1}$

или

${\displaystyle {\frac {(x-b)^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}=1,}$

где ${\displaystyle a=b}$ (и площадь ${\displaystyle S=\pi a^{2}}$ кривой);

• в сокращённой форме^[2][7][6]:

${\displaystyle x^{4}-dx^{3}=-b^{2}y^{2},}$

где ${\displaystyle d=2a}$ — диаметр базовой окружности антигиперболизма (и площадь ${\displaystyle S={\frac {\pi d}{8b}}}$ кривой);

• в очень сокращённой форме^[1]:

${\displaystyle x^{4}-x^{3}=-y^{2},}$

где ${\displaystyle 2a=b=1}$ (и площадь ${\displaystyle S={\frac {\pi }{8}}}$ кривой);

• с изменённым параметром ${\displaystyle b={\frac {a^{2}}{p}}}$ (и площадью ${\displaystyle S=\pi ap\;}$ кривой, которая совпадает с площадью эллипса с полуосями ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle p}$^[3]), теперь параметр ${\displaystyle a}$ масштабирует кривую вдоль оси симметрии^[5][3]:

${\displaystyle p^{2}x^{3}(2a-x)=a^{4}y^{2}.}$

Все уравнения, рассмотренные выше, имеют горизонтальную ось симметрии (совпадающую с оью абсцисс) и касп, расположенный слева при ${\displaystyle a>0.}$ Но касп можно расположить на графике и справа, записав уравнение грушевидной квартики в следующей форме при ${\displaystyle a>0:}$

${\displaystyle x^{4}+2ax^{3}=-b^{2}y^{2}.}$

У всех уравнений, рассмотренные выше, ось симметрии совпадает с осью абсцисс. У следующих уравнений ось симметрии грушевидной квартики совпадает с осью ординат^[9]:

• касп расположен внизу при ${\displaystyle a>0:::<math>y^{4}-2ay^{3}=-b^{2}x^{2};}$
• касп расположен вверху при ${\displaystyle a>0:::<math>y^{4}+2ay^{3}=-b^{2}x^{2}.}$

Антиверзиера — частный случай грушевидной квартики при ${\displaystyle b=2a}$ со следующим уравнением^[10]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-4a^{2}y^{2}.}$

При обобщении антиверзиеры до грушевидной квартики её уравнение записывают в следующем виде^[10]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-4{\frac {a^{4}}{b^{2}}}y^{2}.}$

Волчок, или юла — частный случай грушевидной квартики при ${\displaystyle b=a}$ со следующим уравнением^[11]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-a^{2}4y^{2}.}$

Жемчужная кривая четвёртого порядка — название двух разных кривых, одна из которых — частный случай грушевидной квартики при ${\displaystyle b=2a,}$ со следующими уравнениями^[9]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-4a^{2}y^{2},}$

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-y^{4}.}$

Жемчужная кривая четвёртого порядка обычно имеет форму с осью симметрии, параллельной оси ординат^[9]:

${\displaystyle y^{4}-2ay^{3}=-4a^{2}x^{2},}$

${\displaystyle y^{4}-2ay^{3}=-x^{4}.}$

Квартика Бонне — частный случай грушевидной квартики при ${\displaystyle b=2a}$ со следующим уравнением^[12]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-4a^{2}y^{2}.}$

Получить грушевидную квартику ${\displaystyle F(X,Y)}$ путём антигиперболизма ${\displaystyle Y={\frac {xy}{b}},}$ ${\displaystyle X=x}$ базовой окружности ${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ радиуса ${\displaystyle a}$ с началом координат на этой окружности и базовой прямой ${\displaystyle x=b}$, перпендикулярной диаметру окружности с концом в начале координат^[2] можно двумя способами:

• исходя из уравнения базовой окружности:

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2},}$

${\displaystyle (x-a)^{2}+\left({\frac {bY}{x}}\right)^{2}=a^{2},}$

${\displaystyle X^{4}-2aX^{3}=-b^{2}Y^{2};}$

• исходя из преобразования гиперболизма:

${\displaystyle Y={\frac {xy}{b}},}$

${\displaystyle Y^{2}={\frac {x^{2}}{b^{2}}}y^{2},}$

${\displaystyle b^{2}Y^{2}=x^{2}(a^{2}-(x-a)^{2}),}$

${\displaystyle X^{4}-2aX^{3}=-b^{2}Y^{2}.}$

Получаем, что преобразование гиперболизма окружности:

• сохраняет абсциссу ${\displaystyle x;}$
• изменяет ординату ${\displaystyle y}$ пропорционально абсциссе и ординате с постоянным коэффициентом ${\displaystyle {\frac {1}{b}}.}$

Выясним роль базовых окружности и прямой, построив грушевидную квартику геометрически (см. рисунок справа)^[1][2][5]:

• выберем внутри диаметра базовой окружности произвольную точку с абсциссой ${\displaystyle x'}$, которая будет также и абсциссой грушевидной квартики;
• проведём прямую ${\displaystyle x=x'}$, которая пересечётся с базовой окружностью в точке ${\displaystyle P''}$, на которой будет расположена точка грушевидной квартики;
• проведём базовую прямую ${\displaystyle x=b}$;
• проведём прямую ${\displaystyle y=P''}$, которая пересечётся с базовой прямой ${\displaystyle x=b}$ в точке ${\displaystyle P'}$;
• проведём прямую через начало координат и точку ${\displaystyle y=P'}$, которая пересечётся с прямой ${\displaystyle x=x'}$ в точке ${\displaystyle P}$ — точке грушевидной квартики.

Получим уравнение грушевидной квартики в декартовых координатах, исходя из её геометрического построения^[5]:

• пусть уравнение прямой ${\displaystyle (P',\,P)}$ есть

${\displaystyle y=mx}$,

где ${\displaystyle m}$ — некоторый угловой коэффициент, тогда декартовы координаты точки грушевидной квартики будут

${\displaystyle (x',\,mx')=(x',\,y');}$

• координата точки ${\displaystyle P'}$ будет ${\displaystyle (b,\,mb),}$ а точки ${\displaystyle P''}$ — ${\displaystyle (x',\,mb);}$
• поскольку точка ${\displaystyle P''}$ лежит на базовой окружности, то

${\displaystyle m^{2}b^{2}=-x'^{2}+2ax'}$

${\displaystyle b^{2}y'^{2}=b^{2}m^{2}x'^{2}=-x'^{4}+2ax'^{3},}$

а поскольку ${\displaystyle x'}$ — произвольная точка, окончательно получаем уравнение грушевидной квартики в виде

${\displaystyle X^{4}-2aX^{3}=-b^{2}Y^{2}.}$

Из этого геометрического построения также можно получить уравнения преобразования антигиперболизма, которое зависит только от базовой прямой ${\displaystyle x=b}$ и не зависит от базовой кривой^[8]:

${\displaystyle {\frac {Y'}{y'}}={\frac {mx'}{mb}}={\frac {x'}{b}},}$ ${\displaystyle X'=x',}$

${\displaystyle Y={\frac {xy}{b}},}$ ${\displaystyle X=x.}$

В этом разделе грушевидные квартики определяются уравнением

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2}.}$

Произвольная грушевидная квартика пересекается с осями декартовых координат в следующих точках (см. рисунок справа)^[13]:

• с осью абсцисс ${\displaystyle x=0}$ в точках ${\displaystyle (0,\,0)}$ и ${\displaystyle (2a,\,0);}$
• с осью ординат ${\displaystyle y=0}$ в точке ${\displaystyle (0,\,0);}$
• в точке ${\displaystyle (0,\,0)}$ находится касп грушевидной квартики с касательной ${\displaystyle y=0}$ — осью абсцисс^[7];
• в точке ${\displaystyle (2a,\,0)}$ на оси симметрии находится вершина грушевидной квартики^[7];

Декартовы координаты точек произвольной грушевидной квартики ограничены следующими неравенствами (см. рисунок справа)^[13][7]:

• ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 2a,}$ крайняя левая точка ${\displaystyle (0,\,0)}$ и крайняя правая ${\displaystyle (2a,\,0);}$
• ${\displaystyle -{\frac {a^{2}}{4b}}3{\sqrt {3}}\leqslant y\leqslant {\frac {a^{2}}{4b}}3{\sqrt {3}},}$ минимум кривой ${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}a,\,-{\frac {a^{2}}{4b}}3{\sqrt {3}}\right)}$ и максимум ${\displaystyle \left({\frac {3}{2}}a,\,{\frac {a^{2}}{4b}}3{\sqrt {3}}\right);}$
• экстремальные точки грушевидной квартики лежат на прямой ${\displaystyle x={\frac {3}{4}}a,}$ их иногда неправильно называют вершинами^[7].

Вычислим вторую производную функции, задающей грушевидную квартику^[6]:

${\displaystyle y={\frac {x{\sqrt {x}}}{b}}{\sqrt {2a-x}},}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\sqrt {x}}{b}}{\frac {3a-2x}{\sqrt {2a-x}}},}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d^{2}x}}={\frac {2x^{2}-6ax+3a^{2}}{b{\sqrt {x}}\left({\sqrt {2a-x}}\right)^{3}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a(3a-2x)-2x(2a-x)}{b{\sqrt {x}}\left({\sqrt {2a-x}}\right)^{3}}}.}$

В точке перегиба вторая производная функции меняет знак, то есть необходимое условие точки перегиба — равенство нулю второй производной функции (а заодно и кривизны кривой). Другими словами, точки перегиба суть решение следующей системы уравнений:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d^{2}x}}=0,\\0\leqslant x\leqslant 2a.\end{array}}\right.}$

Получаем следующие точки перегиба грушевидной квартики (см. рисунок справа):

${\displaystyle \left(a{\frac {3-{\sqrt {3}}}{2}},\,{\frac {a^{2}}{2b}}{\sqrt {6{\sqrt {3}}-9}}\right),}$

лежащие на прямой ${\displaystyle x=a{\frac {3-{\sqrt {3}}}{2}}.}$

Грушевидная квартика

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2};}$

всегда пересекается с базовой окружностью

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

в двух точках:

• на каспе ${\displaystyle (0,\,0),}$
• в вершине ${\displaystyle (2a,\,0),}$

и, кроме того, может пересекаться ещё в точках пересечения базовой прямой с базовой окружностью^[1][2].

В итоге грушевидные квартики по точкам пересечения с базовой окружностью делятся на три вида (см. рисунок справа):

• при ${\displaystyle 0<b<2a}$ имеем четыре точки пересечения: ${\displaystyle (0,\,0),}$ ${\displaystyle (2a,\,0)}$ и ${\displaystyle (b,\,\pm {\sqrt {2ab-b^{2}}});}$
• для пограничной квартики Бонне с ${\displaystyle b=2a}$ две предыдущие точки пересечения ${\displaystyle (b,\,\pm {\sqrt {2ab-b^{2}}})}$ сливаются с точкой ${\displaystyle (2a,\,0),}$ остаются две точки пересечения: ${\displaystyle (0,\,0)}$ и «тройная» ${\displaystyle (2a,\,0);}$
• при ${\displaystyle b>2a}$ имеем две обычные точки пересечения: ${\displaystyle (0,\,0)}$ и ${\displaystyle (2a,\,0).}$

Грушевидная квартика

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2}}$

всегда пересекается со своей осью симметрии

${\displaystyle y=0}$

в двух вершинах в силу этой симметрии:

• на каспе ${\displaystyle (0,\,0)}$ — бывшей вершине,
• в вершине ${\displaystyle (2a,\,0),}$

и, кроме того, может иметь ещё две вершины в точках, определяемых при помощи кривизны грушевидной квартики

${\displaystyle \kappa (x)={\frac {|y''|}{({\sqrt {1+y'^{2}}})^{3}}},}$

а именно: в точках, в которых первая производная её кривизны, или ориентированной кривизны

${\displaystyle \kappa _{o}(x)={\frac {y''}{({\sqrt {1+y'^{2}}})^{3}}},}$

равна нулю (см. графики функций кривизны на рисунке справа)^[6]:

${\displaystyle {\frac {d\kappa (x)}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\frac {y''}{({\sqrt {1+y'^{2}}})^{3}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {d}{dx}}{\frac {b^{2}(a(3a-2x)-2x(2a-x))}{{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x(3a-2x)^{2}+b^{2}(2a-x)}}\right)^{3}}}=0.}$

Введём новые переменные — блоки:

${\displaystyle p(x)=2a-x,\,}$ ${\displaystyle p'(x)=-1,}$

${\displaystyle q(x)=3a-2x,\,}$ ${\displaystyle q'(x)=-2,}$

${\displaystyle r(x)=2x^{2}-6ax+3a^{2},\,}$ ${\displaystyle r'(x)=-2q(x),}$

тогда

${\displaystyle y={\frac {x^{3/2}}{b}}{\sqrt {p}},\,}$ ${\displaystyle y'={\frac {\sqrt {x}}{b}}{\frac {q}{\sqrt {p}}},\,}$ ${\displaystyle y''={\frac {1}{b{\sqrt {x}}}}{\frac {r}{p^{3/2}}},}$

${\displaystyle y'''={\frac {-3a^{3}}{bx^{3/2}p^{5/2}}},\,}$ ${\displaystyle 1+y'^{2}={\frac {b^{2}p+q^{2}x}{b^{2}p}},}$

и блочное уравнение производной ориентированной кривизны будет иметь следующий вид:

${\displaystyle \kappa _{o}'(x)=\left({\frac {y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}}\right)'=}$

${\displaystyle ={\frac {y'''}{(1+y'^{2})^{3/2}}}-{\frac {3y'y''^{2}}{(1+y'^{2})^{5/2}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {-3a^{3}(b^{2}p+q^{2}x)}{b^{3}x^{3/2}p^{7/2}(1+y'^{2})^{5/2}}}-{\frac {3q{\sqrt {x}}r^{2}}{b^{3}p^{7/2}x(1+y'^{2})^{5/2}}}=}$

${\displaystyle =-3{\frac {a^{3}(b^{2}p+q^{2}x)+qr^{2}x}{b^{3}x^{3/2}p^{7/2}(1+y'^{2})^{5/2}}}=}$

${\displaystyle =-3{\frac {(a^{3}(b^{2}p+q^{2}x)+qr^{2}x)(b^{2}p)^{5/2}}{b^{3}x^{3/2}p^{7/2}(b^{2}p+q^{2}x)^{5/2}}}=}$

${\displaystyle =-3{\frac {(a^{3}b^{2}p+a^{3}q^{2}x+qr^{2}x)b^{2}}{px^{3/2}(b^{2}p+q^{2}x)^{5/2}}}.}$

После упрощения:

${\displaystyle \kappa _{o}'(x)=-3{\frac {(a^{3}b^{2}+2qx(3a^{3}-xp^{2}))b^{2}}{x^{3/2}(b^{2}p+q^{2}x)^{5/2}}}.}$

Вершины грушевидных квартик могут быть в точках, в которых первая производная их ориентированной кривизны равна нулю:

${\displaystyle \kappa _{o}'(x)=0,}$

то есть в точках

${\displaystyle a^{3}b^{2}+2qx(3a^{3}-xp^{2})=0.}$

Отсюда получаем значения ${\displaystyle b_{vertex},}$ которые соответствуют вершинам грушевидных квартик:

${\displaystyle b_{vertex}^{2}={\frac {2qx(xp^{2}-3a^{3})}{a^{3}}}=0,}$

а также:

• из уравнения функции ориентированной кривизны

${\displaystyle \kappa _{o}(x)={\frac {b^{2}(a(3a-2x)-2x(2a-x))}{{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x(3a-2x)^{2}+b^{2}(2a-x)}}\right)^{3}}}=0}$

получаем уравнение кривой, на которой лежат точки экстремума функций ориентированной кривизны (см. рисунок справа вверху)

${\displaystyle \kappa _{o}(x)={\frac {b_{vertex}^{2}(a(3a-2x)-2x(2a-x))}{{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x(3a-2x)^{2}+b_{vertex}^{2}(2a-x)}}\right)^{3}}}=0,}$

а из уравнения грушевидной квартики

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2}}$

получаем уравнение кривой. на которой лежат вершины грушевидных квартик (см. рисунок справа)

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b_{vertex}^{2}y^{2}.}$

Деление на виды грушевидных квартик по вершинам основано на двух грушевидных квартиках, которые существенно отличаются от остальных:

• грушевидная квартика с ${\displaystyle b\approx 3,46a}$, у которой вместо трёх вершин справа — одна вершина, три вершины слились в одну (см. рисунки справа и справа вверху);
• грушевидная квартика с ${\displaystyle b\approx 2,45a}$, у которой экстремальная кривизна минимальна из всех экстремальных кривизн грушевидных квартик (см. рисунок справа).

В итоге грушевидные квартики по вершинам делятся на пять вида (см. рисунок справа):

1) при ${\displaystyle 0<b\lessapprox 2,45a}$ имеем касп и три вершины, а также не минимальную экстремальную кривизну;

2) пограничная квартика с ${\displaystyle b\approx 2,45a}$ имеет касп и три вершины, а также минимальную экстремальную кривизну;

3) при ${\displaystyle 2,45a\lessapprox b\lessapprox 3,46a}$ имеем то же, что и при 1);

4) пограничная квартика с ${\displaystyle b\approx 3,46a}$ имеет касп и одну тройную вершину, а также не минимальную экстремальную кривизну;

5) при ${\displaystyle 3,46a\lessapprox b}$ имеем то же, что и при 4).

Для перевода уравнения кривой из декартовой ${\displaystyle (x,\,y)}$ в полярную систему координат ${\displaystyle (r,\,\varphi )}$ (и обратно) используют соотношения

${\displaystyle x=r\cos \varphi ,\,}$ ${\displaystyle y=r\sin \varphi ,\,}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2},}$

поэтому^[13]:

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2},}$

${\displaystyle (r\cos \varphi )^{4}-2a(r\cos \varphi )^{3}=-b^{2}(r\sin \varphi )^{2},}$

${\displaystyle b^{2}\sin ^{2}\varphi +r^{2}\cos ^{4}\varphi -2ar\cos ^{3}\varphi =0.}$

В параметрическом виде уравнение грушевидной квартики на вещественной декартовой плоскости

${\displaystyle x^{4}-2ax^{3}=-b^{2}y^{2}}$

может быть таким^[1][3][13]:

${\displaystyle x=a(1+\sin t),}$

${\displaystyle by=a^{2}(1+\sin t)\cos t,}$

где ${\displaystyle t={\frac {\pi }{2}}-2\varphi ,}$

или таким^[2]:

${\displaystyle x=2a\cos ^{2}t=a(1+\cos u),}$

${\displaystyle by=4a^{2}\cos ^{3}t\sin t={\frac {a^{2}}{2}}(\sin {2u}+2\sin u),}$

где ${\displaystyle 2t=2\varphi =u.}$

Грушевидная квартика обобщается в двух направлениях:

• как замкнутая кривая — жемчужная кривая (англ. pearl curve) со следующим уравнением^[14]:

${\displaystyle x^{s}(2a-x)^{r}=b^{p}y^{p},}$

где ${\displaystyle a>0,\,}$ ${\displaystyle p=2n,\,}$ ${\displaystyle s=2m-1,\,}$ ${\displaystyle r=2l-1,\,}$ ${\displaystyle n,m,l\in \mathbb {N} .}$ Грушевидная квартика получается при ${\displaystyle p=2,\,}$ ${\displaystyle s=3,\,}$ и ${\displaystyle r=1.}$

• как каплевидная кривая — оторвавшаяся капля (англ. teardrop curve) со следующим уравнением^[15][16][17]:

${\displaystyle x^{s}(2a-x)^{r}=b^{2}y^{2}.}$ Грушевидная квартика получается при ${\displaystyle s=3,\,}$ и ${\displaystyle r=1.}$

• как обобщение двух предыдущих случаев — жемчужины Слюза (англ. pearls of de Sluze) со следующим уравнением^[18]:

${\displaystyle x^{s}(2a-x)^{r}=b^{p}y^{p},}$

с любыми параметрами. Грушевидная квартика получается при ${\displaystyle p=2,\,}$ ${\displaystyle s=3,\,}$ и ${\displaystyle r=1.}$

Обобщения грушевидной квартики