Амплитуда и фаза колебаний

В общем случае гармоническое колебание математически записывается в виде:

${\displaystyle x(t)=A(t)\sin(\omega t+\varphi )}$

или

${\displaystyle x(t)=A(t)\cos(\omega t+\varphi )}$,

где ${\displaystyle x(t)}$ — отклонение колеблющейся величины в текущий момент времени ${\displaystyle t}$ от среднего арифметического за период значения, например, в кинематике — смещение, отклонение колеблющейся точки от положения равновесия;

${\displaystyle A(t)}$ — амплитуда колебания, то есть максимальное за период отклонение колеблющейся величины от среднего за период значения, размерность ${\displaystyle A(t)}$ совпадает с размерностью ${\displaystyle x(t),}$ в общем случае амплитуда зависит от времени, например, при затухающем собственном колебании осциллятора;

${\displaystyle \omega }$ (радиан/с, градус/с) — круговая (угловая) частота, показывающая, на сколько радиан (градусов) изменяется фаза колебания за 1 с;

${\displaystyle \varphi }$ (радиан, градус) — начальная фаза колебания.

• амплитуда для механического колебания тела (вибрация), для волн на струне или пружине — это расстояние и записывается в единицах длины;
• амплитуда звуковых волн и аудиосигналов обычно относится к амплитуде давления воздуха в волне, но иногда описывается как амплитуда смещения относительно равновесия (воздуха или диафрагмы говорящего). Её логарифм обычно измеряется в децибелах (дБ);

Форма изменения амплитуды называется огибающей.

Фа́за колеба́ний полная или мгновенная — аргумент периодической функции, описывающей колебательный или волновой процесс.

Фаза колебаний начальная — значение фазы колебаний (полной) в начальный момент времени, то есть при ${\displaystyle t=0}$ (для колебательного процесса), а также в начальный момент времени в начале системы координат, то есть при ${\displaystyle t=0}$ в точке с координатами ${\displaystyle (x,\ y,\ z)=0}$ (для волнового процесса). Фаза колебания — гармоническое колебание ${\displaystyle \varphi .}$

Величину ${\displaystyle \varphi ,}$ входящую в аргумент функций косинуса или синуса, называют фазой колебаний описываемой этой функцией:

${\displaystyle \varphi =\omega t.}$

Как правило, о фазе говорят применительно к гармоническим колебаниям или монохроматическим волнам. При описании величины, испытывающей гармонические колебания, используется, например, одно из выражений:

${\displaystyle A\cos(\omega t+\varphi _{0}),}$

${\displaystyle A\sin(\omega t+\varphi _{0}),}$

${\displaystyle Ae^{i(\omega t+\varphi _{0})}.}$

Аналогично, при описании волны, распространяющейся в одномерном пространстве, например, используются выражения вида:

${\displaystyle A\cos(kx-\omega t+\varphi _{0}),}$

${\displaystyle A\sin(kx-\omega t+\varphi _{0}),}$

${\displaystyle Ae^{i(kx-\omega t+\varphi _{0})},}$

для волны в пространстве любой размерности (например, в трёхмерном пространстве):

${\displaystyle A\cos({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0}),}$

${\displaystyle A\sin({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0}),}$

${\displaystyle Ae^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0})}.}$

Фаза колебаний (полная) в этих выражениях — аргумент функции, то есть выражение, записанное в скобках; фаза колебаний начальная — величина ${\displaystyle \varphi _{0},}$ являющаяся одним из слагаемых полной фазы. Говоря о полной фазе, слово полная часто опускают.

Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут различаться фазами. Так как:

${\displaystyle \omega =2\pi /T,}$ то ${\displaystyle \varphi =\omega t=2\pi t/T.}$

Отношение ${\displaystyle t/T}$ указывает, сколько периодов прошло от момента начала колебаний. Любому значению времени ${\displaystyle t,}$ выраженному в числе периодов ${\displaystyle T,}$ соответствует значение фазы ${\displaystyle \varphi ,}$ выраженное в радианах. Так, по прошествии времени ${\displaystyle t=T/4}$ (четверти периода) фаза будет ${\displaystyle \varphi =\pi /2,}$ по прошествии половины периода — ${\displaystyle \varphi =\pi ,}$ по прошествии целого периода ${\displaystyle \varphi =2\pi }$ и т. д.

Поскольку функции синус и косинус совпадают друг с другом при сдвиге аргумента (то есть фазы) на ${\displaystyle \pi /2,}$ то во избежание путаницы лучше пользоваться для определения фазы только одной из этих двух функций, а не той и другой одновременно. По обычному соглашению фазой считают аргумент косинуса, а не синуса^[2][3].

То есть, для колебательного процесса (см. выше) фаза (полная):

${\displaystyle \varphi =\omega t+\varphi _{0},}$

для волны в одномерном пространстве:

${\displaystyle \varphi =kx-\omega t+\varphi _{0},}$

для волны в трёхмерном пространстве или пространстве любой другой размерности:

${\displaystyle \varphi ={\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\varphi _{0}}$,

где ${\displaystyle \omega }$ — угловая частота (величина, показывающая, на сколько радиан или градусов изменится фаза за 1 с; чем величина выше, тем быстрее растёт фаза с течением времени);

${\displaystyle t}$ — время;

${\displaystyle \varphi _{0}}$ — начальная фаза (то есть фаза при ${\displaystyle t=0);}$

${\displaystyle k}$ — волновое число;

${\displaystyle x}$ — координата точки наблюдения волнового процесса в одномерном пространстве;

${\displaystyle {\vec {k}}}$ — волновой вектор;

${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор точки в пространстве (набор координат, например, декартовых).

В приведённых выше выражениях фаза имеет размерность угловых единиц (радианы, градусы). Фазу колебательного процесса по аналогии с механическим вращательным также выражают в циклах, то есть долях периода повторяющегося процесса:

1 цикл = ${\displaystyle 2\pi }$ радиан = 360 угловых градусов.

В аналитических выражениях (в формулах) преимущественно (и по умолчанию) используется представление фазы в радианах, представление в градусах также встречается достаточно часто (по-видимому, как предельно явное и не приводящее к путанице, поскольку знак градуса не принято никогда опускать ни в устной речи, ни в записях). Указание фазы в циклах или периодах (за исключением словесных формулировок) в технике сравнительно редко.

Иногда (в квазиклассическом приближении, где используются квазимонохроматические волны, то есть близкие к монохроматическим, но не строго монохроматические, а также в формализме интеграла по траекториям, где волны могут быть и далёкими от монохроматических, хотя всё же подобны монохроматическим) рассматривается фаза, являющаяся нелинейной функцией времени ${\displaystyle t}$ и пространственных координат ${\displaystyle {\vec {r}},}$ в принципе — произвольная функция^[4]:

${\displaystyle \varphi =\varphi ({\vec {r}},t).}$

Рассматривая два колебательных процесса одинаковой частоты, говорят о постоянной разности полных фаз (о сдвиге фаз) этих процессов.

Если два колебательных процесса происходят одновременно (например, колеблющиеся величины достигают максимума в один и тот же момент времени), то говорят, что они находятся в фазе (колебания синфазны). Если моменты максимума одного колебания совпадают с моментами минимума другого колебания, то говорят, что колебания находятся в противофазе (колебания противофазны). Если разность фаз составляет ±90°, то говорят, что колебания находятся в квадратуре или что одно из этих колебаний — квадратурное по отношению к другому колебанию (опорному, «синфазному», то есть служащему для условного определения начальной фазы).

Если амплитуды двух противофазных колебательных процессов одинаковы, то при сложении таких колебаний (при их интерференции) в линейной среде происходит взаимное уничтожение колебательных процессов.