Задача Бертрана
Задача Бертрана — задача, обратная к задаче двух тел и состоящая в определении силы взаимодействия по известным свойствам траекторий движения.
Первая задача Бертрана
Первая задача Бертрана. Найти закон сил, зависящих только от положения движущейся точки, и заставляющей её описывать конические сечения, каковы бы ни были начальные условия.
Эта задача была успешно решена Дарбу и Альфеном[1] при дополнительном предположении, что сила центральная, а затем удалось отбросить и это условие[2]. Оказалось, что таких взаимодействия два — закон всемирного тяготения и закон Гука.
Вторая задача Бертрана
Предположение о центральности силы, впрочем, можно было бы сделать и из общих соображений симметрии задачи.
Вторая задача Бертрана. Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы ни были начальные условия, если только скорость меньше некоторого предела, найти закон этой силы.
Ответ короток: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения.
Задача решена самим Бертраном[3]. Наиболее полное решение приведено в заметке Дарбу к механике Депейру[4]
Задача Кенигса
Кенигс (Koenigs G.) предложил еще более общую задачу:
Задача Кенигса. Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать алгебраическую кривую, каковы бы ни были начальные условия, найти закон этой силы.
Как это ни удивительно, но ответ тот же: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения.
Исчерпывающее решение задачи дано самим Кенигсом[5].
Историческая справка
Определение вида сил при движении тела по орбитам в виде конических сечений и вида орбит по заданному закону сил поставлены и полностью решены[6] Исааком Ньютоном в I книге "Математических начал" с использованием разработанного им синтетического метода, объединяющего геометрические доказательства основных теорем математического анализа и теории пределов с созданной им[7] теорией аналитических рядов на основе бинома Ньютона[8].
В отделе III (О движении тел по эксцентричным коническим сечениям) доказывается, что движение по коническим сечениям возможно лишь для закона обратных квадратов (Предложения XI - XIII), либо для закона первой степени (Гука, Предложение Х). Причём первый случай отвечает направлению силы к фокусу конического сечения, а второй - в геометрический центр эллипса. В Отделе II предварительно доказывается, что движение тела по части любой гладкой кривой, лежащей в плоскости, может быть сведено к движению в поле некоторой центральной силы с притягивающим центром на этой плоскости (Предложение VII, Следствия 2 и 3).
В отделе IХ (О движении тел по подвижным орбитам и о перемещении апсид) доказывается с использованием аналитических рядов и предельного перехода от орбиты, близкой к кругу, к круговой, что замкнутая орбита может быть только при показателе степени +1 (закон Гука, Пример 2) или -2 (закон тяготения, Пример 3).
В предисловии к "Началам" автор перевода и редактор первого издания "Начал" на русском языке механик А.Н. Крылов отмечает, что первый перевод на английский язык был сделан в 1727 году, на французский - лишь в 1759 маркизой дю Шатле, и работа Ньютона на современных европейских языках стала доступной лишь спустя много десятилетий после первого её издания.
Примечания
- ↑ Это решение удалось упростить Полю Аппелю; см. Аппель Механика, Т. 1, п. 232
- ↑ Despeyrous T. Cours de mécanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886.
- ↑ Bertrand J. //C.R. T. LXXVII. P. 849—853.
- ↑ Despeyrous T. Cours de mécanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886. P. 461—466. Эта же задача представлена в виде цикла задач к § 8 гл. 2 кн. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: УРСС, 2000.
- ↑ Koenigs G. // Bull. de la Société de France, t. 17, p. 153—155.
- ↑ В.И. Арнольд. Параграф 6. Доказал ли Ньютон эллиптичность орбит? // Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. Первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов. — 1-е. — Москва: Наука, 1989. — 96 с. — (Современная математика для студентов). — 36 000 экз. — ISBN 5-02-013935-1.
- ↑ С.С. Петрова, Д.А. Романовска. К истории открытия ряда Тейлора / А.И. Юшкевич. — Москва: Наука, 1980. — С. 10-24. — (Историко-математические исследования, выпуск XXV).
- ↑ Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии = PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA / Л.С. Полак, А.Н. Крылов. — 4-е. — Москва: URSS, 2016. — 688 с. — ISBN 978-5-9710-4231-0.
| ||||||||
| ||||||||
