Законы Кеплера

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге, изложенные в опубликованных им работах между 1609 и 1619 годами. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел в случае пренебрежимо малой массы планеты, то есть предельным переходом $m_{p}/m_{s}\rightarrow 0$, где $m_{p}$, $m_{s}$ — массы планеты и звезды соответственно.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Первый закон Кеплера

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением $e={\frac {c}{a}}$, где $c$ — расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние), ${a}$ — большая полуось. Величина $e$ называется эксцентриситетом эллипса. При $c=0$, и, следовательно, $e=0$ эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение $a$ имеет форму

$\mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){\hat {\mathbf {r} }}.$

Вспомним, что в полярных координатах

${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},$

${\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.$

В координатной форме запишем

${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),$

$r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0.$

Подставляя ${\ddot {\theta }}$ и ${\dot {r}}$ во второе уравнение, получим

$r{d{\dot {\theta }} \over dt}+2{dr \over dt}{\dot {\theta }}=0,$

которое упрощается

${\frac {d{\dot {\theta }}}{\dot {\theta }}}=-2{\frac {dr}{r}}.$

После интегрирования запишем выражение

$\ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+\ln \ell ,$

$\ln \ell =\ln r^{2}+\ln {\dot {\theta }},$

$\ell =r^{2}{\dot {\theta }},$

для некоторой константы $\ell$, которая является удельным угловым моментом ($\ell =\mathbf {r} \times \mathbf {v}$).

Пусть

$r={\frac {1}{u}},$

${\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {du}{d\theta }},$

${\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.$

Уравнение движения в направлении ${\hat {\mathbf {r} }}$ становится равным

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {1}{\ell ^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right).$

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

$f\left({1 \over u}\right)=f(r)=-\,{GM \over r^{2}}=-GMu^{2}$

где $G$ — универсальная гравитационная константа и $M$ — масса звезды.

В результате

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}.$

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

$u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right].$

для произвольных констант интегрирования $e$ и $\theta _{0}$.

Заменяя $u$ на 1/$r$ и полагая $\theta _{0}=0$, получим:

$r={1 \over u}={\frac {\ell ^{2}/GM}{1+e\cos \theta }}.$

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом $e$ и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Второй закон Кеплера

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает собой равные площади.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Доказательство второго закона Кеплера

По определению угловой момент $\mathbf {L}$ точечной частицы с массой $m$ и скоростью $\mathbf {v}$ записывается в виде:

$\mathbf {L} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (m\mathbf {v} )$.

где $\mathbf {r}$ — радиус-вектор частицы а $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ — импульс частицы. Площадь, заметаемая радиус-вектором $\mathbf {r}$ за время $dt$ из геометрических соображений равна

$dS={\frac {1}{2}}r\sin \phi vdt={\frac {1}{2}}|\mathbf {r} \times \mathbf {v} |dt={\frac {\mathbf {|L|} }{2m}}dt$,

где $\phi$ представляет собой угол между направлениями $\mathbf {r}$ и $\mathbf {v}$.

По определению

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$.

В результате мы имеем

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$.

Продифференцируем обе части уравнения по времени

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )+\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )+(\mathbf {v} \times \mathbf {p} )=0$

поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что $F$ всегда параллелен $r$, поскольку сила радиальная, и $p$ всегда параллелен $v$ по определению. Так как производная от константы равна нулю, $|\mathbf {L} |$, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади ${\frac {dS}{dt}}$ — константы.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.

${\frac {T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}$,

Третий закон Кеплера

где $T_{1}$ и $T_{2}$ — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а $a_{1}$ и $a_{2}$ — длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:

${\frac {T_{1}^{2}(M+m_{1})}{T_{2}^{2}(M+m_{2})}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}$,

где $M$ — масса Солнца, а $m_{1}$ и $m_{2}$ — массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Доказательство третьего закона Кеплера

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках $P$ (перигелий) и $A$ (афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\varepsilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot V_{B}\,dt$

$(1-\varepsilon )\cdot V_{A}=(1+\varepsilon )\cdot V_{B}$

$V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}$

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках $A$ и $B$, запишем

${\frac {mV_{A}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1-\varepsilon )a}}={\frac {mV_{B}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1+\varepsilon )a}}$

${\frac {V_{A}^{2}}{2}}-{\frac {V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{(1-\varepsilon )a}}-{\frac {GM}{(1+\varepsilon )a}}$

${\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{(1-\varepsilon )}}-{\frac {1}{(1+\varepsilon )}}\right)$

${\frac {\left(V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon -1+\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}\right)$

$V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac {2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}\right)$

$V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\varepsilon )^{2}-(1-\varepsilon )^{2}}{(1-\varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}$

$V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\varepsilon +\varepsilon ^{2}-1+2\varepsilon -\varepsilon ^{2}}{(1-\varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}$

$V_{B}^{2}\cdot 4\varepsilon ={\frac {4GM\varepsilon \cdot (1-\varepsilon )^{2}}{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}$

$V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}.$

Теперь, когда нашли $V_{B}$, мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

${\frac {dA}{dt}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}\,dt}{dt}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}$

$={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}$

Однако полная площадь эллипса равна $\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$ (что равно $\pi ab$, поскольку $b={\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$). Время полного оборота, таким образом, равно

$T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$

$T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}=\pi {\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a^{2}$

$T={\frac {2\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}}{\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}={\frac {2\pi a^{2}}{\sqrt {GMa}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {GM}}}{\sqrt {a^{3}}}$

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}.$

Заметим, что если масса $m$ не пренебрежимо мала по сравнению с $M$, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы $M+m$ (см. приведённая масса). При этом массу $M$ в последней формуле нужно заменить на $M+m$:

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}.$

Альтернативное доказательство третьего закона Кеплера (более простое)

Рассмотрим планету как точку массой m, вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:

1. перигелий с радиус-вектором $r_{1}=a-c$, скоростью $V_{1}$;
2. афелий с радиус-вектором $r_{2}=c+a$, скоростью $V_{2}$.

Запишем закон сохранения момента импульса

$mV_{1}r_{1}=mV_{2}r_{2}$

и закон сохранения энергии

${\frac {mV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{1}}}={\frac {mV_{2}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{2}}}$ ,

где M - масса Солнца.

Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке "перигелий":

$V_{1}={\sqrt {2GM{\frac {r_{2}/r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}}$ .

Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):

$V_{s}=1/2\cdot V_{1}r_{1}={\sqrt {GM{\frac {r_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}}$ .

Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:

$S_{ellipse}=\pi ab$

где $a$ - длина большой полуоси, $b$ - длина малой полуоси орбиты.

С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:

$S_{ellipse}=V_{s}\cdot T=T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}$ .

Следовательно,

$T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}=\pi ab$ .

Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

$r_{1}+r_{2}=2a$

$r_{1}\cdot r_{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}$

Подставим в формулу площади эллипса:

$T\cdot {\sqrt {GM{\frac {b^{2}}{4a}}}}=\pi ab$

Откуда окончательно получим:

${\frac {T}{a^{3/2}}}=const$

или в традиционном виде

${\frac {T^{2}}{a^{3}}}=const.$

См. также

• Задача Бертрана

Литература

• Кеплера законы // Энциклопедический словарь юного астронома / сост. Н. П. Ерпылев. — 2-е изд. — М.: Педагогика, 1986. — С. 121—122. — 336 с.
• Смородинский Я. A. Планеты движутся по эллипсам // Квант. — 1979. — № 12. — С. 13—19.