Всемирное тяготение (ЕГЭ-ОГЭ)

В классической механике гравитационное взаимодействие описывают ньютоновским законом всемирного тяготения, согласно которому сила притяжения между двумя материальными точками масс ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$, разделёнными расстоянием ${\displaystyle r}$, прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния:

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.}$

Константа ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная, примерно равная 6,67·10⁻¹¹ м³/(кг·с²)^[5][6]. Закон справедлив при скоростях ${\displaystyle v\ll c}$ и в слабом поле (когда для тела на расстоянии ${\displaystyle R}$ от объекта массы ${\displaystyle M}$ выполняется условие ${\displaystyle {\tfrac {GM}{c^{2}R}}\ll 1}$^[7]). В полной же формулировке гравитация описывается общей теорией относительности Эйнштейна.

Гравитационное поле, как и поле силы тяжести, является потенциальным, то есть работа силы притяжения не зависит от формы траектории, а определяется только начальной и конечной точками. Это позволяет ввести потенциальную энергию пары тел, сохраняющуюся при перемещении по замкнутому контуру. Потенциальность поля обеспечивает сохранение суммы кинетической и потенциальной энергий и упрощает анализ движения тел в нём. В рамках ньютоновской механики гравитация представляет собой дальнодействующее взаимодействие: гравитационный потенциал в любой точке пространства зависит только от положения массивного тела в данный момент времени.

Крупные космические объекты — планеты, звёзды и галактики — обладают большой массой и создают мощные гравитационные поля.

Гравитация является самым слабым из фундаментальных взаимодействий, однако, действуя на любые расстояния и имея только положительные массы, она играет ключевую роль во Вселенной. Электромагнитное взаимодействие на астрономических масштабах несущественно, так как суммарный электрический заряд космических тел обычно равен нулю (вещество электрически нейтрально).

В отличие от остальных взаимодействий, гравитация универсальна и действует на всю материю и энергию. Не обнаружено объектов, лишённых гравитационного воздействия. Благодаря своему глобальному характеру гравитация определяет крупномасштабную структуру галактик, образование чёрных дыр и расширение Вселенной, а также отвечает за орбиты планет и падение тел на поверхность Земли.

Гравитация стала первым взаимодействием, описанным математической теорией. Аристотель (IV век до н. э.) полагал, что тела разной массы падают с различными скоростями. Лишь в 1589 году Галилео Галилей показал, что при устранении сопротивления воздуха все тела ускоряются одинаково. Ньютоновский закон всеобщего тяготения (1687 год) удачно описывал это взаимодействие, а в 1915 году Альберт Эйнштейн сформулировал общую теорию относительности, трактующую гравитацию как проявление геометрии пространства‑времени.

Сила тяжести — сила, действующая на любое физическое тело вблизи поверхности астрономического объекта (планеты, звезды) и представляющая собой сумму гравитационного притяжения этого объекта и центробежной силы инерции, вызванной его суточным вращением^[8][9].

Другие силы, приложенные к телу — такие как силы Кориолиса^[10][11][12] при движении по поверхности планеты или силы Архимеда при наличии атмосферы или жидкости — в понятие силы тяжести не входят.

В практических задачах чаще всего рассматривают силу тяжести в околоземных условиях. Здесь величина центробежной силы составляет доли процента от гравитационной и часто может не учитываться.

Сила тяжести ${\displaystyle {\vec {P}}}$, действующая на материальную точку массой ${\displaystyle m}$, вычисляется по формуле^[13]:

${\displaystyle {\vec {P}}=m{\vec {g}}}$,

где ${\displaystyle {\vec {g}}}$ — ускорение свободного падения^[14]. Сила тяжести относится к консервативным,^[15] сообщая любому телу ускорение ${\displaystyle {\vec {g}}}$, независимо от массы^[13]. Численное значение ${\displaystyle g}$ определяется свойствами планеты или звезды (масса ${\displaystyle M}$, размеры, угловая скорость вращения ${\displaystyle \omega }$) и положением на их поверхности.

При условии, что поле тяжести в теле небольших размеров можно считать однородным, равнодействующая всех сил тяжести, действующих на его элементы, приложена к его центру масс^[16].

Ускорение свободного падения (ускорение силы тяжести) — ускорение, которое сообщает телу сила тяжести при отсутствии других взаимодействий. Согласно уравнению движения в неинерциальных системах^[17], ускорение свободного падения по модулю равно силе тяжести, приложенной к телу единичной массы.

На поверхности Земли ускорение свободного падения g изменяется от 9,780 м/с² на экваторе до 9,82 м/с² на полюсах^[18]. Нормированное значение g, принятое в системах измерений, равно 9,80665 м/с²^[19][20]. Это значение было выбрано как усреднённая по Земле величина: оно близко к ускорению на широте 45,5° на уровне моря. В приближённых расчётах часто применяют g ≈ 9,81, 9,8 или даже 10 м/с².

Солнечная система — планетная система, состоящая из центральной звезды Солнце и всех естественных космических объектов, обращающихся по гелиоцентрическим орбитам. Она образовалась в результате гравитационного сжатия газопылевого облака около 4,57 млрд лет назад^[21].

Общая масса Солнечной системы оценивается примерно в 1,0014 M☉. Преобладающая часть массы сосредоточена в Солнце; остальная часть почти полностью приходится на восемь удалённых друг от друга планет с близкими к круговым орбитами (кроме Меркурия), лежащими почти в плоскости эклиптики^[22].

Солнечная система является частью структуры Галактики Млечный Путь.

Орбиты планет в Солнечной системе подчиняются законам Кеплера.

Законы Кеплера — три эмпирических соотношения, выведенные Иоганном Кеплером по результатам многолетних наблюдений Тихо Браге. Изложенные в трудах, опубликованных между 1609 и 1619 годами, они описывают идеальную гелиоцентрическую орбиту планеты.

Соотношения Кеплера позволили Ньютону сформулировать закон всемирного тяготения, ставший фундаментом классической механики. В её рамках законы Кеплера следуют из решения задачи двух тел при предельном переходе ${\displaystyle m_{p}/m_{s}\to 0}$, где ${\displaystyle m_{p}}$ и ${\displaystyle m_{s}}$ — массы планеты и звезды.

Каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его отклонения от окружности характеризуются эксцентриситетом ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$, где ${\displaystyle c}$ — расстояние от центра эллипса до фокуса, а ${\displaystyle a}$ — большая полуось. При ${\displaystyle c=0}$ (то есть ${\displaystyle e=0}$) эллипс становится окружностью.

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

Для нашей Солнечной системы из этого закона выводятся понятия перигелий (ближайшая к Солнцу точка орбиты) и афелий (наиболее удалённая). В соответствии с законом площадей скорость движения планеты больше в перигелии и меньше в афелии.

Каждый год в начале января, проходя через перигелий, Земля движется быстрее, вследствие чего видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля при прохождении афелия скорость движения замедляется, что приводит к замедлению перемещения Солнца по эклиптике. Закон площадей также указывает, что сила, управляющая орбитальным движением, направлена к центру Солнца.

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

${\displaystyle {\frac {T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}}$,

где ${\displaystyle T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{2}}$ — периоды обращения двух планет, ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ — большие полуоси их орбит. Аналогично закон справедлив для спутников.

Ньютон показал, что гравитационное притяжение зависит только от расстояния между массами, а не от их состава или температуры. Он уточнил третий закон Кеплера, включив в него массу планеты:

${\displaystyle {\frac {T_{1}^{2}(M+m_{1})}{T_{2}^{2}(M+m_{2})}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}}$,

где ${\displaystyle M}$ — масса Солнца, ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$ — массы планет. Эта модификация закона применяется совместно с законом всемирного тяготения для определения масс планет и спутников по известным орбитам и периодам.