Чисто мнимое число

Пусть ${\displaystyle z=x+iy}$ — комплексное число, где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — действительные числа. Числа ${\displaystyle x=\Re (z)}$ или ${\displaystyle \operatorname {Re} ~z}$ и ${\displaystyle y=\Im (z)}$ или ${\displaystyle \operatorname {Im} ~z}$ называются соответственно действительной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями ${\displaystyle z}$.

• Если ${\displaystyle x=0}$, то ${\displaystyle z}$ называется чисто мнимым числом.
• Если ${\displaystyle y=0}$, то ${\displaystyle z}$ является действительным числом.

Впервые мнимые числа упоминает в своих трудах древнегреческий математик и инженер Герон Александрийский^[3][4], но правила осуществления арифметических операций (в частности, умножения) над ними ввёл Рафаэль Бомбелли в 1572 году. Концепция Бомбелли появилась раньше аналогичных работ Джероламо Кардано. В XVI—XVII веках мнимые числа рассматривались большей частью научного сообщества как фиктивные или бесполезные (аналогично тому, как воспринималось в свое время понятие нуля). В частности, Рене Декарт, упоминая о мнимых числах в своём фундаментальном труде «Геометрия», использовал термин «мнимый» в уничижительном смысле^[5][6]. Использование мнимых чисел не было широко распространено до появления работ Леонарда Эйлера (1707—1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777—1855). Геометрическое значение комплексных чисел как точек на плоскости было впервые описано Каспаром Весселем (1745—1818)^[7].

В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон расширил идею оси мнимых чисел на плоскости до четырёхмерного пространства кватернионов, в котором три измерения аналогичны мнимым числам в комплексном поле.

С развитием в теории факторколец концепции кольца многочленов понятие мнимого числа стало более содержательным и получило дальнейшее развитие в понятии j — бикомплексных чисел, у которых квадрат равен +1. Эта идея появилась в статье английского математика Джеймса Кокла 1848 года^[8].

На плоскости комплексных чисел мнимые числа находятся на вертикальной оси, перпендикулярной оси действительных чисел. Один из способов геометрической интерпретации мнимых чисел — рассмотреть стандартную числовую ось, где положительные числа находятся справа, а отрицательные — слева. Через точку 0 на оси x может быть проведена ось y с «положительным» направлением, идущим вверх; «положительные» мнимые числа увеличиваются по величине вверх, а «отрицательные» мнимые числа увеличиваются по величине вниз. Эта вертикальная ось часто называется «мнимой осью» и обозначается iℝ,${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {I} }$, или ℑ.

В этом представлении умножение на –1 соответствует повороту на 180 градусов относительно начала координат. Умножение на i соответствует повороту на 90 градусов в «положительном» направлении (то есть против часовой стрелки), а уравнение i² = −1 интерпретируется как говорящее о том, что если мы применим два поворота на 90 градусов относительно начала координат, результатом будет один поворот на 180 градусов. При этом поворот на 90 градусов в «отрицательном» направлении (то есть по часовой стрелке) также удовлетворяет этой интерпретации. Это отражает тот факт, что −i также является решением уравнения x² = −1. Как правило, умножение на комплексное число аналогично вращению вокруг начала координат аргумента комплексного числа с последующим масштабированием по его величине.

Необходимо соблюдать осторожность при работе с мнимыми числами, являющимися главными значениями квадратных корней отрицательных чисел. Например, такой математический софизм: ^[9]

${\displaystyle 6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.}$

Иногда это записывается так:

${\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (софизм) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.}$

Подобный математический софизм возникает в случае, когда в равенстве ${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$ переменные не имеют соответствующих ограничений. В этом случае равенство не выполняется, так как оба числа отрицательны. Это можно показать как

${\displaystyle {\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},}$

где и x и y — неотрицательные действительные числа.