Формула Кардано

Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

y^{3}+py+q=0

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано, опубликовавшего её в 1545 году^[1]. В 1545 году Тарталья, Никколо обвинил Кардано в плагиате: последний в трактате «Ars Magna» раскрыл алгоритм решения кубических уравнений, доверенный ему Тартальей в 1539 году под обещание не публиковать. Хотя Кардано не приписывал алгоритм себе и честно сообщил в книге, что авторами являются Сципион дель Ферро и Тарталья, алгоритм ныне известен под незаслуженным названием «формула Кардано»^[2].

Любое кубическое уравнение общего вида

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

при помощи замены переменной

x=y-{\frac {b}{3a}}

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}},

q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

Определим величину^[3]:

$Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}.$

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней^[3]:

Q > 0 — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел^[3].

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

$y_{1}=\alpha +\beta ,$

$y_{2,3}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},$

где

\alpha ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},

\beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}},

Дискриминант многочлена $y^{3}+py+q$ при этом равен $\Delta =-108Q$ .

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений $\alpha$ необходимо брать такое $\beta$ , для которого выполняется условие $\alpha \beta =-p/3$ (такое значение $\beta$ всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения $\alpha ,\beta$ .

Вывод

Представим уравнение в виде

\prod _{i=1}^{3}(y-y_{i})=0\qquad (1)

где $y_{i}$ - корни уравнения. Тогда

\prod _{i=1}^{3}(y_{i})=-q.\qquad (2)

Примем:

\ -q=\alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad (3)

Тогда, решая уравнение (3) получим

\ -q=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta )\qquad (4)

Одним из корней будет $\ y=\alpha +\beta$ . Подставив его в исходное уравнение, получим:

\alpha ^{3}+\beta ^{3}+(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )+q=0

Подставляя q из (3), приходим к системе:

\left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix}}\right.

Зная, что в общем случае сумма

\alpha +\beta

не равна нулю, получаем систему

\left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix}}\right.

которая равносильна системе

\left\{{\begin{matrix}\alpha ^{3}\beta ^{3}=-{p^{3} \over 27}=m\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q=-n\end{matrix}}\right.

Последняя представляет собой формулы Виета для двух корней $\alpha ^{3}$ и $\beta ^{3}$ квадратного уравнения:

\ z^{2}+nz+m=0

Оставшиеся два корня находятся разложением на множители многочлена

\ \alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta

Гусак А. А., Гусак Г. М., Бричикова Е. А. Справочник по высшей математике в двух томах. — Минск: Тетрасистемс, 1999. — 640 с. — ISBN 985-6317-51-7.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.

[1]

[2]

[3]

Формула Кардано

Формула

См. также

Литература

Примечания

Ссылки

Категории