Формула Кардано

Задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям, известны с древности: удвоение куба, вавилонские таблицы кубов и кубических корней, отдельные приёмы в «Математике в девяти книгах» и у Диофанта. Общего алгебраического решения эти традиции не дали.

В XI веке Омар Хайям в «Трактате о доказательствах задач алгебры и алмукабалы» классифицировал кубические уравнения и построил положительные корни как абсциссы пересечения конических сечений. Сам Хайям писал, что выразить эти корни «алгеброй» ему не удалось и что это, быть может, удастся потомкам^[6][7]. В XII веке Шараф ад-Дин ат-Туси исследовал условия существования положительного корня и, по существу, пользовался дискриминантом кубического трёхчлена^[8]. Около 1225 года Фибоначчи в трактате «Flos» численно приблизил положительный корень уравнения ${\displaystyle x^{3}+2x^{2}+10x=20}$ с погрешностью порядка ${\displaystyle 10^{-9}}$^[9].

В европейской алгебре до XVI века господствовало убеждение Луки Пачоли (Summa de arithmetica, 1594), что общее кубическое уравнение «невозможно» решить так, как решают квадратное. Отрицательные коэффициенты не признавались, поэтому вместо одного уравнения ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ различали больше десятка типов («куб и вещи равны числу», «куб равен вещам и числу» и т. д.)^[10][11].

Около 1515 года профессор Болонского университета Сципион дель Ферро нашёл правило решения уравнений вида ${\displaystyle x^{3}+px=q}$ с положительными ${\displaystyle p,q}$. Он держал метод в секрете — победа в публичном математическом турнире была источником дохода и репутации — и лишь незадолго до смерти (1526) сообщил его ученику Антонио Марии Фиоре^[12]. Формула дель Ферро для решения уравнения ${\displaystyle x^{3}+ax=b}$ выглядела следующим образом:

$${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {b}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {a}{3}}\right)^{3}}}}}}$$

В 1535 году Фиоре вызвал на состязание венецианского преподавателя Никколо Тарталью (Фонтану). Фиоре предложил тридцать задач одного типа ${\displaystyle x^{3}+px=q}$; Тарталья — разнообразные задачи, включая тип ${\displaystyle x^{3}+px^{2}=q}$. Накануне срока Тарталья самостоятельно нашёл правило для «куба и вещей» и решил все задачи соперника; Фиоре не справился с задачами Тартальи^[14][15].

Слава о победе дошла до Джероламо Кардано, преподававшего математику в миланской школе (фонде) Пьятти. После переписки и личной встречи в Милане 25 марта 1539 года Тарталья под клятвой на Евангелии сообщил Кардано своё правило — в форме мнемонического стихотворения, без строгого доказательства — при условии, что тот не опубликует его раньше самого Тартальи^[16][4][17].

Кардано и его ученик Лодовико Феррари за несколько лет распространили правило на все типы кубических уравнений того времени и нашли решение уравнения четвёртой степени (метод Феррари опирается на вспомогательную кубическую резольвенту). В 1543 году они осмотрели в Болонье бумаги дель Ферро у его зятя и преемника Аннибале делла Наве и убедились, что приоритет принадлежит дель Ферро. Кардано счёл себя вправе опубликовать метод дель Ферро, не нарушая буквы клятвы 1539 года^[18][19].

В 1545 году в Нюрнберге вышел трактат Кардано Artis magnae, sive de regulis algebraicis, liber unus. В нём впервые в печати изложены:

• решение всех типов кубических уравнений того времени;
• сведение полного кубического уравнения к неполному (уничтожение квадратичного члена);
• решение уравнения четвёртой степени, найденное Феррари;
• понятие кратного корня (пример ${\displaystyle x^{3}=12x+16}$, двойной корень ${\displaystyle -2}$);
• формальное вычисление с квадратным корнем из отрицательного числа (глава 37: разбиение 10 на два слагаемых с произведением 40 даёт ${\displaystyle 5\pm {\sqrt {-15}}}$)^[19][17][20].

Кардано прямо указал, что правило для неполного кубического уравнения принадлежит дель Ферро и независимо Тарталье, а решение уравнения четвёртой степени — Феррари. Тем не менее в 1546 году Тарталья в книге Quesiti et inventioni diverse обвинил Кардано в нарушении клятвы. За Кардано вступился Феррари: в 1547—1548 годах стороны обменялись шестью «картеллями» (открытыми письмами с задачами). 10 августа 1548 года в миланской церкви Санта-Мария-дель-Джардино состоялся публичный диспут; Кардано на него не явился, Тарталья не выдержал давления аудитории и фактически признал поражение. Репутация и место Тартальи в Брешии пострадали; формула, однако, уже вошла в учёный оборот под именем первого, кто её опубликовал^[4][14].

Кардано заметил, что при ${\displaystyle (q/2)^{2}+(p/3)^{3}<0}$ под квадратным корнем оказывается отрицательное число, хотя все три корня кубического уравнения вещественны. Сам он не дал удовлетворительного истолкования этого «неприводимого случая» (casus irreducibilis).

Систематическую арифметику величин вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}$ построил Рафаэль Бомбелли в книге L’Algebra (Болонья, 1572). На уравнении ${\displaystyle x^{3}=15x+4}$ он показал, что

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+11i}}=2+i,\qquad {\sqrt[{3}]{2-11i}}=2-i,}$

и сумма этих «сопряжённых» кубических корней даёт вещественный корень 4. Бомбелли называл свой шаг «дикой мыслью» (pensiero selvaggio)^[21][22][23].

Франсуа Виет предложил подстановку ${\displaystyle y=w-p/(3w)}$, сводящую неполное кубическое уравнение к квадратному относительно ${\displaystyle w^{3}}$, и — что важнее для практики — тригонометрическое решение случая трёх вещественных корней, не требующее мнимых радикалов. Подстановка Виета опубликована посмертно в 1615 году^[24].

В 1843 году П. Л. Ванцель доказал, что если неприводимый над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ кубический многочлен имеет три вещественных корня, то эти корни нельзя выразить через коэффициенты вещественными радикалами: выход в комплексную область неизбежен^[25]. Тем самым casus irreducibilis получил точный алгебраический смысл.

Теорема Абеля — Руффини показала, что уже для уравнений степени 5 и выше общего решения в радикалах не существует. Таким образом, формулы Кардано и Феррари замыкают классический ряд «решений в радикалах»^[26][27].

Положим^[31][32].

${\displaystyle Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}={\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}.}$

Величину ${\displaystyle Q}$ иногда называют «дискриминантом формулы Кардано». Её не следует смешивать с дискриминантом многочлена ${\displaystyle y^{3}+py+q}$, который равен

${\displaystyle \Delta =-4p^{3}-27q^{2}.}$

Между этими величинами существует строгая линейная связь: ${\displaystyle \Delta =-108\,Q}$ (d ряде справочников дискриминант обозначают ${\displaystyle D}$ и ошибочно приравнивают сразу и к ${\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}}$, и к ${\displaystyle +108Q}$; эти две величины противоположны по знаку).

Если коэффициенты ${\displaystyle p,q}$ вещественны, то и ${\displaystyle Q}$ вещественно, и его знак полностью описывает вещественную картину корней:

Условие для ${\displaystyle Q}$	Знак ${\displaystyle \Delta }$	Число вещественных корней	Рекомендуемый метод вычисления
${\displaystyle Q>0}$	${\displaystyle \Delta <0}$	Один простой вещественный корень и два комплексно-сопряжённых	Классическая формула Кардано
${\displaystyle Q=0}$	${\displaystyle \Delta =0}$	Все корни вещественны, есть кратный: один простой и один двукратный (если ${\displaystyle (p,q)\neq (0,0)}$); трёхкратный корень ${\displaystyle y=0}$ (если ${\displaystyle p=q=0}$)	Формула Кардано (упрощённая)
${\displaystyle Q<0}$	${\displaystyle \Delta >0}$	Три различных вещественных корня	Тригонометрическая формула Виета

Поскольку ${\displaystyle f'(y)=3y^{2}+p}$, при ${\displaystyle p\geq 0}$ функция ${\displaystyle f(y)=y^{3}+py+q}$ строго возрастает, и вещественный корень всегда ровно один (при ${\displaystyle p=q=0}$ он трёхкратный). Неравенство ${\displaystyle Q<0}$ возможно только при ${\displaystyle p<0}$; на плоскости ${\displaystyle (p,q)}$ соответствующая область ограничена полукубической параболой

${\displaystyle q=\pm {\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}\,(-p)^{3/2},\qquad p\leq 0.}$

Случай ${\displaystyle Q<0}$ называют неприводимым (casus irreducibilis) лишь тогда, когда многочлен к тому же неприводим над полем коэффициентов (обычно над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$). Если он разлагается на линейные множители с рациональными корнями — например, ${\displaystyle y^{3}-7y+6=(y-1)(y-2)(y+3)}$, при том что ${\displaystyle Q=-100/27<0}$, — формула Кардано не обязана привлекать мнимости, и теорема Ванцеля не действует^[25].

Корни канонического уравнения суть

${\displaystyle y_{0}=\alpha +\beta ,}$

${\displaystyle y_{1,2}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i\,{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},}$

где

${\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},\qquad \beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}}.}$

Эквивалентная запись через примитивный кубический корень из единицы

${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/3}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}},\qquad \omega ^{2}+\omega +1=0,}$

имеет вид

${\displaystyle y_{k}=\omega ^{k}\alpha +\omega ^{-k}\beta ,\qquad k=0,1,2.}$

В поле ${\displaystyle \mathbb {C} }$ квадратный корень двузначен, кубический — трёхзначен, поэтому наивная подстановка всех комбинаций даёт девять чисел. Корнями уравнения являются ровно три из них — те пары ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$, для которых выполнено условие согласования

${\displaystyle \alpha \beta =-{\frac {p}{3}}}$

(такое ${\displaystyle \beta }$ при каждом выборе ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ существует и единственно; при ${\displaystyle p=0}$ одно из чисел ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ равно нулю, и условие выполняется автоматически).

Если коэффициенты вещественны и ${\displaystyle Q>0}$, удобно брать вещественные значения обоих кубических корней: тогда ${\displaystyle y_{0}}$ веществен, а ${\displaystyle y_{1,2}}$ комплексно сопряжены. При ${\displaystyle Q=0}$ имеем ${\displaystyle \alpha =\beta ={\sqrt[{3}]{-q/2}}}$ (вещественное значение) и

${\displaystyle y_{0}=2\alpha ,\qquad y_{1}=y_{2}=-\alpha .}$

При ${\displaystyle Q<0}$ оба подкоренных выражения ${\displaystyle -q/2\pm {\sqrt {Q}}}$ комплексно сопряжены; вещественность суммы ${\displaystyle \alpha +\beta }$ восстанавливается, если взять сопряжённые значения кубических корней, связанные условием ${\displaystyle \alpha \beta =-p/3}$.

Практически вместо второго кубического корня можно вычислять только ${\displaystyle \alpha }$ и полагать ${\displaystyle \beta =-p/(3\alpha )}$ (подстановка Виета, см. ниже): это автоматически соблюдает условие согласования и уменьшает неоднозначность^[33].

Ищем корень в виде суммы ${\displaystyle y=\alpha +\beta }$. Тождество

${\displaystyle (\alpha +\beta )^{3}=\alpha ^{3}+\beta ^{3}+3\alpha \beta (\alpha +\beta )}$

превращает каноническое уравнение в

${\displaystyle \alpha ^{3}+\beta ^{3}+q+(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )=0.}$

Равенство будет выполнено, если одновременно

${\displaystyle 3\alpha \beta +p=0,\qquad \alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q,}$

то есть

${\displaystyle \alpha \beta =-{\frac {p}{3}},\qquad \alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q.}$

Возводя первое соотношение в куб, получаем систему Виета для неизвестных ${\displaystyle \alpha ^{3}}$ и ${\displaystyle \beta ^{3}}$:

${\displaystyle \alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q,\qquad \alpha ^{3}\beta ^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}.}$

Следовательно, ${\displaystyle \alpha ^{3}}$ и ${\displaystyle \beta ^{3}}$ — корни квадратного уравнения

${\displaystyle z^{2}+qz-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}=0,}$

дискриминант которого равен ${\displaystyle 4Q}$:

${\displaystyle z=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {Q}}.}$

Извлекая кубические корни с условием ${\displaystyle \alpha \beta =-p/3}$, получаем ${\displaystyle y=\alpha +\beta }$.

Эквивалентный и более экономный путь — сразу положить

${\displaystyle y=w-{\frac {p}{3w}}\qquad (w\neq 0).}$

После умножения на ${\displaystyle w^{3}}$ каноническое уравнение переходит в квадратное относительно ${\displaystyle w^{3}}$:

${\displaystyle (w^{3})^{2}+q\,w^{3}-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}=0,}$

то есть снова в уравнение для ${\displaystyle \alpha ^{3}}$. При этом второе слагаемое ${\displaystyle -p/(3w)}$ играет роль ${\displaystyle \beta }$, и условие согласования выполнено тождественно^[34].

Разложение

${\displaystyle y^{3}+py+q={\bigl (}y-(\alpha +\beta ){\bigr )}{\bigl (}y^{2}+(\alpha +\beta )y+(\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2}){\bigr )}}$

справедливо в силу равенства ${\displaystyle p=-3\alpha \beta }$. Дискриминант квадратного трёхчлена равен ${\displaystyle -3(\alpha -\beta )^{2}}$, и его корни суть

${\displaystyle y_{1,2}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},}$

что совпадает с комбинациями ${\displaystyle \omega \alpha +\omega ^{2}\beta }$ и ${\displaystyle \omega ^{2}\alpha +\omega \beta }$.

Рассмотрим уравнение «куб и шесть вещей равны двадцати»

${\displaystyle y^{3}+6y-20=0}$

(${\displaystyle p=6}$, ${\displaystyle q=-20}$). Тогда

${\displaystyle Q=\left({\frac {6}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {-20}{2}}\right)^{2}=8+100=108>0,}$

${\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{10+{\sqrt {108}}}}={\sqrt[{3}]{10+6{\sqrt {3}}}},\qquad \beta ={\sqrt[{3}]{10-6{\sqrt {3}}}}.}$

Прямая проверка показывает, что ${\displaystyle \alpha +\beta =2}$:

${\displaystyle 2^{3}+6\cdot 2-20=0.}$

Два других корня комплексно сопряжены:

${\displaystyle y_{1,2}=-1\pm i{\sqrt {3}}.}$

Условие согласования: ${\displaystyle \alpha \beta =-p/3=-2}$.

Уравнение

${\displaystyle y^{3}-15y-4=0}$

имеет ${\displaystyle p=-15}$, ${\displaystyle q=-4}$ и

${\displaystyle Q=(-5)^{3}+(-2)^{2}=-125+4=-121<0.}$

Формула Кардано даёт

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}.}$

Бомбелли заметил, что ${\displaystyle (2+i)^{3}=2+11i}$ и ${\displaystyle (2-i)^{3}=2-11i}$, поэтому одно из допустимых значений суммы равно 4. Полный набор корней:

${\displaystyle y_{0}=4,\qquad y_{\pm }=-2\pm {\sqrt {3}}.}$

Проверка разложением:

${\displaystyle (y-4)(y+2-{\sqrt {3}})(y+2+{\sqrt {3}})=(y-4)(y^{2}+4y+1)=y^{3}-15y-4.}$

Многочлен неприводим над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (рациональных корней нет по теореме о рациональных корнях), поэтому это подлинный casus irreducibilis: вещественные радикалы от рациональных чисел корней не выражают.

Тригонометрическая формула даёт те же корни без мнимостей:

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {2}{\sqrt {125}}}={\frac {2}{5{\sqrt {5}}}},\qquad y_{k}=2{\sqrt {5}}\,\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{3}}.}$

Для ${\displaystyle y^{3}-3y+2=0}$ имеем ${\displaystyle p=-3}$, ${\displaystyle q=2}$ и

${\displaystyle Q=(-1)^{3}+1^{2}=0.}$

Отсюда ${\displaystyle \alpha =\beta ={\sqrt[{3}]{-1}}=-1}$ и

${\displaystyle y_{0}=-2,\qquad y_{1}=y_{2}=1,}$

что согласуется с разложением ${\displaystyle (y+2)(y-1)^{2}=0}$.

Уравнение ${\displaystyle x^{3}-6x^{2}+11x-6=0}$. Здесь ${\displaystyle a=1,b=-6,c=11,d=-6}$.

Замена неизвестного вычисляется как ${\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a}}=y-{\frac {-6}{3\cdot 1}}=y+2}$.

Подстановка переводит уравнение в вид ${\displaystyle y^{3}-y=0}$. Здесь ${\displaystyle p=-1}$, ${\displaystyle q=0}$, ${\displaystyle Q=-1/27<0}$, корни ${\displaystyle y\in \{-1,0,1\}}$, откуда ${\displaystyle x\in \{1,2,3\}}$. Тот же ответ даёт тригонометрическая формула: ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$,

${\displaystyle y_{k}=2{\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\cos {\frac {\pi /2+2\pi k}{3}}.}$

Поскольку многочлен имеет рациональные корни, случай формально не является casus irreducibilis, хотя ${\displaystyle Q<0}$.

• Решение любого кубического уравнения в радикалах и, как следствие, решение уравнения четвёртой степени методом Феррари: резольвента Феррари является кубической.
• Явные формулы для корней позволяют выписывать поля разложения кубических расширений и иллюстрировать различие casus irreducibilis / приводимого случая в курсе теории Галуа^[37].
• Исторически — первый содержательный пример, в котором «мнимые» промежуточные величины необходимы для получения вещественного ответа.
• Связь с формулами Виета: зная один корень, найденный по формуле Кардано, два других можно найти через теорему Виета (сумма и произведение корней), разделив исходный многочлен на линейный двучлен.

Характеристический многочлен любой ${\displaystyle 3\times 3}$-матрицы имеет степень 3. Поэтому формула Кардано (или тригонометрическая формула Виета) даёт собственные значения в замкнутом виде. Важнейшие частные случаи:

• главные напряжения и главные деформации — собственные значения симметричного тензора напряжений (деформаций); инвариантная запись ${\displaystyle \sigma ^{3}-I_{1}\sigma ^{2}+I_{2}\sigma -I_{3}=0}$^[38];
• главные моменты инерции и ориентация главных осей тензора инерции;
• собственные частоты малых колебаний системы с тремя степенями свободы.

В аналитической геометрии к кубическим уравнениям сводятся пересечение прямой с кубической кривой, поиск экстремумов кубического многочлена, отдельные задачи на коники (через хайямову конструкцию).

Классические кубические уравнения состояния — ван дер Ваальса, Редлиха — Квонга, Пенга — Робинсона — после раскрытия скобок имеют вид

${\displaystyle pV^{3}-(pb+RT)V^{2}+aV-ab=0}$

(или аналогичный). При фиксированных давлении и температуре объём находится по формуле Кардано. Ниже критической температуры изотерма даёт три вещественных корня, отвечающих жидкости, неустойчивому состоянию и газу; правило Максвелла (Maxwell construction) выбирает равновесные фазы. В инженерных расчётах часто предпочитают тригонометрическую форму Виета, чтобы не выходить в комплексную арифметику^[39].

Формула Кардано даёт замкнутое решение и потому удобна в системах компьютерной алгебры и в аналитических доказательствах. Однако в машинной арифметике с плавающей точкой она имеет особенности^[40]:

• численная неустойчивость: вблизи ${\displaystyle Q=0}$ происходит катастрофическая потеря значащих цифр из-за вычитания близких величин;
• проблемы в casus irreducibilis: накопление ошибок округления при извлечении комплексного кубического корня.

Надёжные реализации в вычислительной математике используют:

• тригонометрическую / гиперболическую формулу Виета в чистой вещественной арифметике;
• сведение к задаче нахождения собственных значений сопровождающей матрицы (QR-алгоритм);
• итерации Ньютона с хорошим начальным приближением для уточнения корня, найденного аналитически.

В современных прикладных областях формула находит применение в:

• компьютерной графике: пересечение луча с кубической поверхностью, нахождение экстремумов кубических кривых Безье и решение кубических сплайнов;
• робототехнике: решение задач обратной кинематики для манипуляторов с несколькими степенями свободы;
• криптографии: алгоритмы удвоения и сложения точек на эллиптических кривых часто сводятся к решению кубических уравнений над конечными полями;
• теории управления: анализ устойчивости систем через корни характеристических уравнений третьего порядка.