Формула Фейнмана — Каца

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-V(x,t)u+f(x,t)=0\qquad (*)}$

с неизвестной функцией ${\displaystyle u=u(x,t)}$, в котором ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle t\in [0,T]}$ — независимые переменные, ${\displaystyle \mu ,\sigma ,V,f}$ — известные функции. Формула Фейнмана — Каца утверждает, что решение уравнения (*) с начальным (в обратном времени) условием:

${\displaystyle u(x,T)=\psi (x),}$

может быть выражено как условное математическое ожидание:

${\displaystyle u(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau })\,d\tau }f(X_{s},s)ds+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau })\,d\tau }\psi (X_{T})\ {\bigg |}\ X_{t}=x\right],}$

где ${\displaystyle Q}$ — вероятностная мера, такая что случайный процесс ${\displaystyle X_{t}}$ является процессом Ито, описываемым стохастическим уравнением:

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}^{Q},\qquad (**)}$

в котором ${\displaystyle W_{t}^{Q}}$ — винеровский процесс, с начальным условием

${\displaystyle X_{0}=x}$.

Формула Фейнмана — Каца имеет многомерный аналог, когда переменная ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$.

В этом случае дифференциальное уравнение (*) имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-V(x,t)u+f(x,t)=0}$

и n-мерный случайный процесс ${\displaystyle X_{t}}$ описывается стохастическим уравнением:

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\Sigma (X_{t},t)\,dW_{t}^{Q},}$

в котором ${\displaystyle \mu }$ — это вектор-столбец ${\displaystyle (\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})}$, ${\displaystyle W_{t}^{Q}}$ — n-мерный винеровский процесс, ${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{ij})}$ — квадратная матрица порядка n, связанная с матрицей ${\displaystyle \Gamma =(\gamma _{ij})}$ формулой

${\displaystyle \Gamma =\Sigma \cdot \Sigma ^{*},}$

звёздочка означает транспонирование.

Иван Ремизов внёс вклад в развитие подходов, связанных с формулой Фейнмана — Каца, в частности, в работах по квазифейнмановским формулам и аппроксимации эволюционных полугрупп, используемых для анализа решений параболических уравнений и уравнений квантовой механики^[1].