Формальное дифференцирование

• .Для многочлена ${\displaystyle F(X)=\textstyle \sum _{i=0}^{n}\displaystyle a_{i}X^{i}}$ формальная производная ${\displaystyle F'(X)}$ определяется как ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle ia_{i}X^{i-1}}$.
• Для степенного ряда ${\displaystyle A(X)=\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle b_{i}X^{i}}$ формальная производная ${\displaystyle A'(X)}$ определяется как ${\displaystyle A'(X)=\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle ib_{i}X^{i-1}}$.
• Для рациональной функции ${\displaystyle f(x)={\frac {P(X)}{Q(X)}}}$ формальная производная ${\displaystyle A'(X)}$ определяется как ${\displaystyle f'(x)={\frac {\{P'(X)Q(X)-Q'(X)P(X)\}}{[Q(X)]^{2}}}}$.

Аналогично определяются формальные производные высших порядков и частные формальные производные для функций от нескольких переменных^[1].

Пусть дано кольцо ${\displaystyle R}$ (не обязательно коммутативное) и пусть алгебра ${\displaystyle A=R[x]}$ является кольцом ${\displaystyle R}$ над многочленом. Если ${\displaystyle R}$ не коммутативно, эта алгебра над одной неопределённой переменной^[2].

Тогда формальное дифференцирование представляет собой действие над элементами ${\displaystyle A}$, при котором если ${\displaystyle f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

то формальная производная равна ${\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +ia_{i}x^{i-1}+a_{1}}$, как и в случае многочленов над вещественными или комплексными числами.

В приведённом определении для любого неотрицательного целого числа ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle r\in R}$, операция умножения ${\displaystyle ir}$ определяется как обычно в кольце: ${\displaystyle ir=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{i}}$ (${\displaystyle ir=0}$, если ${\displaystyle i=0}$). Это определение также работает, даже если ${\displaystyle R}$ не имеет мультипликативной идентичности, то есть ${\displaystyle R}$ относится к категории обычных колец ${\displaystyle Rng}$^[3].

Можно также определить формальную производную аксиоматически как отображение ${\displaystyle (\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]}$, удовлетворяющее следующим свойствам:

1. ${\displaystyle r'=0}$ для всех ${\displaystyle r\in R\subset R[x].}$
2. Аксиома нормализации ${\displaystyle x'=1.}$
3. Отображение коммутирует с операцией сложения в кольце многочленов ${\displaystyle (a+b)'=a'+b'.}$
4. Отображение удовлетворяет закону Лейбница относительно операции умножения кольца многочленов ${\displaystyle (a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.}$

Формула для нахождения формальной производной от многочлена (в стандартном виде для коммутативных колец) является следствием определения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{i}a_{i}x^{i}\right)'&=\sum _{i}\left(a_{i}x^{i}\right)'\\&=\sum _{i}\left((a_{i})'x^{i}+a_{i}\left(x^{i}\right)'\right)\\&=\sum _{i}\left(0x^{i}+a_{i}\left(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}\right)\right)\\&=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}\\&=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.\end{aligned}}}$

Для формальной производной остаётся справедливым ряд свойств обычной производной^[1].

• Если ${\displaystyle F'(X)=0}$, то ${\displaystyle F(X)}$ — константа из поля коэффициентов (в случае характеристики 0) и равна ${\displaystyle G(X^{p})}$ (в случае характеристики ${\displaystyle p}$).
• Если ${\displaystyle x_{0}}$ — корень многочлена кратности ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle x_{0}}$ является корнем производной ${\displaystyle F'(X)}$ кратности ${\displaystyle k-1}$.

• Формальное дифференцирование линейно: для любых двух многочленов ${\displaystyle f(x),g(x)}$ из ${\displaystyle R[x]}$ и элементов ${\displaystyle r,s}$ из ${\displaystyle R}$ верно равенство:${\displaystyle (r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).}$ Если ${\displaystyle R}$ некоммутативно, существует другой вид свойства линейности, при котором ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$ располагаются справа. Если в ${\displaystyle R}$ нет единичного элемента, то формула не приводится к виду суммы многочленов или суммы одного многочлена и кратного другому многочлену^[4].

• Для формального дифференцирования выполняется правило произведения: ${\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).}$ Если ${\displaystyle R}$ не является коммутативным, важно сохранять порядок множителей.

Данные свойства делают ${\displaystyle D}$ дифференцированием коммутативной алгебры ${\displaystyle A}$ (см. относительные дифференциальные формы). Формальная производная не является кольцевым гомоморфизмом, поскольку правило произведения отличается от утверждения ${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g'}$. Однако, по приведённым выше определениям является гомоморфизмом R -модулей .

Производная позволяет определить наличие кратных корней: если ${\displaystyle R}$ является полем, то ${\displaystyle R[x]}$ является евклидовым кольцом, для которого можно определить понятие кратности корня; для многочлена ${\displaystyle f(x)}$ и элемента ${\displaystyle r}$ из ${\displaystyle R}$ существует неотрицательное целое число ${\displaystyle m_{r}}$ и многочлен ${\displaystyle g(x)}$, такие что${\displaystyle f(x)=(x-r)^{m_{r}}g(x),}$ где ${\displaystyle g(r)}$ не равно ${\displaystyle 0}$. Степень ${\displaystyle m_{r}}$ показывает кратность ${\displaystyle r}$ как корня ${\displaystyle f}$.

Из правила произведения следует, что ${\displaystyle m_{r}}$ также является количеством применений операции дифференцирования, которые можно провести над ${\displaystyle f(x)}$ до тех пор, пока ${\displaystyle r}$ не перестанет быть корнем оставшегося многочлена. Несмотря на то, что не любой многочлен степени ${\displaystyle n}$ в ${\displaystyle R[x]}$ имеет ${\displaystyle n}$ корней с учётом кратности (это лишь максимальное количество), можно перейти к расширению поля, в котором это утверждение справедливо (см. алгебраическое замыкание). После перехода к расширению поля могут в том числе найтись и кратные корни, не являющиеся корнями над ${\displaystyle R}$. Например, если ${\displaystyle R}$ является полем с тремя элементами, то многочлен

${\displaystyle f(x)\,=\,x^{6}+1}$

не имеет корней в ${\displaystyle R}$; но формальная производная (${\displaystyle f'(x)=6x^{5}}$) равна нулю, поэтому при переходе к алгебраическому замыканию обнаруживается кратный корень, который невозможно найти в ${\displaystyle R}$. Следовательно, понятие кратности, определённое при помощи формального дифференцирования, может быть эффективно проверено. Это оказывается особенно важным в теории Галуа, позволяя различать сепарабельные и несепарабельные расширения поля^[5].

Если кольцо чисел ${\displaystyle R}$ коммутативное, то существует другое эквивалентное определение формальной производной, напоминающее определение из анализа. Элемент ${\displaystyle Y-X}$ кольца ${\displaystyle R[X,Y]}$ является делителем ${\displaystyle Y^{n}-X^{n}}$ при любом неотрицательном целом ${\displaystyle n}$, следовательно, является делителем ${\displaystyle f(Y)-f(X)}$ для любого многочлена ${\displaystyle f}$. Обозначим частное (в ${\displaystyle R[X,Y]}$) как ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{Y-X}},}$

тогда несложно доказать, что ${\displaystyle g(X,X)}$ (в ${\displaystyle R[X]}$) совпадает с формальным определением производной ${\displaystyle f}$, указанным выше.

Эта формулировка производной одинаково хорошо работает и для формального степенного ряда, если кольцо коэффициентов коммутативно. Если деление в этом определении выполняется в классе функций ${\displaystyle Y}$, непрерывных в точке ${\displaystyle X}$, оно вернёт классическое определение производной. Если оно выполняется в классе функций, непрерывных как в точке ${\displaystyle X}$, так и в точке ${\displaystyle Y}$, получают равномерную дифференцируемость, а функция ${\displaystyle f}$будет непрерывно дифференцируемой. Аналогично, выбирая различные классы функций, получают различные разновидности дифференцируемости. Таким образом, дифференцирование становится частью алгебры функций. Такое определение производной пригодно для формальных степенных рядов в предположении коммутативности кольца скаляров^[5].