Угловое перемещение

Угловое перемещение — это угол (выраженный в радианах, градусах, оборотах или любой другой единице измерения углов), который характеризует поворот объекта вокруг заданной оси вращения относительно начальной ориентации и в определённом направлении. Когда тело вращается вокруг своей оси, его движение нельзя рассматривать как движение частицы, поскольку при круговом движении скорость и ускорение изменяются в каждый момент времени (t). При рассмотрении вращения объекта наиболее простым случаем является предположение, что он представляет собой твёрдое тело, то есть расстояние между всеми его частицами остаётся постоянным независимо от движения тела. С практической точки зрения любое тело потенциально может деформироваться, однако во многих случаях величина этих деформаций пренебрежимо мала. Вращение твёрдого тела относительно фиксированной оси называется вращательным движением.

В примере, приведённом в начале статьи, частица P находится на фиксированном расстоянии r от начала координат O и вращается против часовой стрелки. Если описывать положение частицы P в полярных координатах (r, θ), то в данном случае значение θ изменяется, а радиус остаётся постоянным (следует отметить, что при описании положения в декартовых координатах (x, y) как x, так и y изменяются со временем). По мере движения частицы по окружности она проходит дугу длиной s, которая связана с угловым положением соотношением:

s=r\theta \,

Угловое перемещение обычно измеряется в радианах или градусах. Использование радианов даёт очень простую связь между длиной дуги окружности и расстоянием r от центра вращения:

\theta ={\frac {s}{r}}

Например, если тело совершает полный оборот (360°) по окружности радиуса r, угловое перемещение определяется как длина пройденной дуги, равная 2πr, делённая на радиус: $\theta ={\frac {2\pi r}{r}}$ , что легко упрощается до: $\theta =2\pi$ . Таким образом, 1 оборот соответствует $2\pi$ радианам.

Когда частица перемещается из точки P в точку Q за промежуток времени $\delta t$ , как показано на иллюстрации справа, радиус-вектор проходит изменение угла $\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1}$ , что и есть её угловое перемещение.

В трёхмерном пространстве угловое перемещение — это величина, обладающая направлением и модулем. Направление указывает ось вращения, которая всегда существует в силу теоремы Эйлера о вращении; модуль определяет величину поворота, выраженную в радианах вокруг этой оси (направление определяется по правилу правой руки). Такое представление называется осевой-угловой нотацией угла поворота.

Несмотря на наличие направления и модуля, угловое перемещение не является вектором в строгом смысле, поскольку не подчиняется коммутативному закону сложения^[1]. Однако для бесконечно малых вращений можно пренебречь величинами второго порядка, и в этом случае коммутативность появляется.

Существует несколько способов описания углового перемещения, например, с помощью матриц вращения или углов Эйлера.

Матричная запись

Поскольку любую систему отсчёта в пространстве можно описать с помощью матрицы вращения, то и перемещение между ними также может быть выражено матрицей вращения. Пусть $A_{0}$ и $A_{f}$ — две матрицы, тогда матрица углового перемещения между ними вычисляется как $\Delta A=A_{f}.A_{0}^{-1}$ . Если разность между системами отсчёта очень мала, эта матрица близка к единичной.

В пределе получается бесконечно малая матрица вращения.

Бесконечно малое угловое перемещение связано с бесконечно малой матрицей вращения:

Как и любая матрица вращения, она имеет единственное вещественное собственное значение, равное +1. Это собственное значение указывает ось вращения.
Её модуль определяется величиной бесконечно малого поворота.
Вид матрицы следующий:

A={\begin{pmatrix}1&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&1&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&1\\\end{pmatrix}}

Тензор бесконечно малого углового перемещения или генератор вращения имеет вид:

d\Phi (t)={\begin{pmatrix}0&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&0&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}

так что соответствующая матрица вращения равна $A=I+d\Phi (t)$ . При делении на время получается вектор угловой скорости.

Генераторы вращений

Пусть задана ось вращения в виде единичного вектора [x, y, z], и имеется бесконечно малое вращение на угол Δθ относительно этого вектора. Разложив матрицу вращения в бесконечный ряд и взяв первый порядок, матрица вращения ΔR записывается как:

\Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta .

Конечное вращение на угол θ вокруг этой оси можно рассматривать как последовательность малых вращений вокруг той же оси. Приближая Δθ как θ/N, где N — большое число, вращение на угол θ вокруг оси выражается как:

R=\left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{\mathbf {A} \theta }.

Теорема Эйлера по существу утверждает, что любое вращение может быть представлено в такой форме. Произведение $\mathbf {A} \theta$ — это "генератор" данного вращения, где (x, y, z) — вектор, связанный с матрицей A. Это показывает, что матрица вращения и осевая-угловая нотация связаны экспоненциальной функцией.

Можно вывести простое выражение для генератора G. Пусть задана произвольная плоскость^[2], определяемая парой взаимно перпендикулярных единичных векторов a и b. В этой плоскости можно выбрать произвольный вектор x, с y, перпендикулярным ему. Тогда выражая y через x и подставляя в выражение для вращения в плоскости, получаем матрицу вращения R, включающую генератор G = ba^T - ab ^T.

{\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{T}x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{T}x\\y&=-ab^{T}x+ba^{T}x=\left(ba^{T}-ab^{T}\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{T}-ab^{T}\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{T}-ab^{T}\\\end{aligned}}

Для включения в вращение векторов вне плоскости необходимо модифицировать выражение для R, добавив два оператора проекции, разделяющих пространство. Эта модифицированная матрица вращения может быть переписана как матричная экспонента:

{\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=e^{G\beta }\\\end{aligned}}

Анализ часто оказывается проще в терминах этих генераторов, чем при рассмотрении полной матрицы вращения. Этот подход известен как алгебра Ли группы вращений.

Связь с алгеброй Ли

Матрицы в алгебре Ли сами по себе не являются вращениями. Кососимметричные матрицы — это производные, пропорциональные разности вращений. Истинная "дифференциальная" или бесконечно малая матрица вращения имеет вид

I+A\,d\theta ~,

где dθ — бесконечно малая величина, а A ∈ so(n), например, при A = L_x:

dL_{x}=\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{smallmatrix}}\right]

.

Правила вычислений обычные, за исключением того, что все бесконечно малые величины второго порядка систематически отбрасываются. При этом такие матрицы не обладают всеми свойствами обычных конечных матриц вращения^[3]. Оказывается, что порядок применения бесконечно малых вращений не имеет значения. Для примера см. статью Группа вращений SO(3).

Экспоненциальное отображение

Связь алгебры Ли с группой Ли реализуется через экспоненциальное отображение, определяемое с помощью стандартного матричного экспонента^[4] для e^A. Для любой кососимметричной матрицы A, exp(A) всегда является матрицей вращения^{[nb 1]}.

Важный практический пример — случай 3 × 3. В группе вращений SO(3), можно отождествить каждую A ∈ so(3) с вектором Эйлера ω = θ u, где u = (x,y,z) — единичный вектор.

По свойствам отождествления su(2) ≅ ℝ³, u принадлежит ядру A. Следовательно, u инвариантен относительно exp(A) и, значит, является осью вращения.

Используя формулу Родрига в матричной форме, с θ = ^θ⁄₂ + ^θ⁄₂, и с учётом формул двойного угла, получаем

{\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u\cdot L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2},\end{aligned}}

где c = cos ^θ⁄₂ s = sin ^θ⁄₂

Это матрица вращения вокруг оси u на угол θ в форме через половинный угол. Для подробностей см. статью Экспоненциальное отображение SO(3).

Следует отметить, что для бесконечно малых углов члены второго порядка можно отбросить и положить exp(A) = I + A.

↑ Следует отметить, что это экспоненциальное отображение между кососимметричными и вращательными матрицами существенно отличается от рассмотренного выше преобразования Кэли, различаясь начиная с третьего порядка: $e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.$ Аналогично, кососимметричная матрица A, определяющая вращательную матрицу через преобразование Кэли, задаёт ту же матрицу вращения через отображение exp(2arctanhA).

↑ Kleppner, Daniel. An Introduction to Mechanics / Daniel Kleppner, Robert Kolenkow. — McGraw-Hill, 1973. — P. 288–89.
↑ В евклидовом пространстве
↑ (Goldstein, Poole & Safko 2002, §4.8)
↑ (Wedderburn 1934)

[5] Следует отметить, что это экспоненциальное отображение между кососимметричными и вращательными матрицами существенно отличается от рассмотренного выше преобразования Кэли, различаясь начиная с третьего порядка: $e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.$ Аналогично, кососимметричная матрица A, определяющая вращательную матрицу через преобразование Кэли, задаёт ту же матрицу вращения через отображение exp(2arctanhA).

[1] Kleppner, Daniel. An Introduction to Mechanics / Daniel Kleppner, Robert Kolenkow. — McGraw-Hill, 1973. — P. 288–89.

[2] В евклидовом пространстве

[3] (Goldstein, Poole & Safko 2002, §4.8)

[4] (Wedderburn 1934)

[1]

[2]

[3]

[4]

[nb 1]

Угловое перемещение

Пример

Измерения

Трёхмерный случай

Матричная запись

Бесконечно малые матрицы вращения

Генераторы вращений

Связь с алгеброй Ли

Экспоненциальное отображение

См. также

Примечания

Литература

Категории