Гипотезы Поллока

Гипо́тезы По́ллока — несколько гипотез о фигурных числах, которые выдвинул в 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок^[1][2][3]. Эти гипотезы можно рассматривать как дополнение теоремы Ферма о многоугольных числах, в том числе расширение теоремы на случай пространственных фигурных чисел.

1. Гипотеза 1: любое натуральное число есть сумма не более чем девяти кубических чисел. Доказана в начале XX века. Обычно достаточно семи кубов, но 15 чисел (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, последовательность A018889 в OEIS) требуют восьми, а двум числам (23 и 239) нужны все девять. Если, кроме сложения, допускать вычитание, то достаточно и пяти кубов^[4] (возможно, что даже четырёх, но это пока не доказано)^[5].
2. Гипотеза 2: любое натуральное число есть сумма не более чем одиннадцати центрированных девятиугольных чисел^[6]. До сих пор не доказана и не опровергнута.
3. Гипотеза 3: любое натуральное число есть сумма не более чем пяти тетраэдральных чисел^[7]. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов. Обнаружено 241 число, для которых четырёх тетраэдральных чисел недостаточно (17, 27, 33, 52, 73, ..., последовательность A000797 в OEIS), скорее всего, последнее из них равно 343867^[7].
4. Гипотеза 4, обобщающая часть предыдущих. Обозначим ${\displaystyle m}$ число вершин одного из пяти правильных многогранников (4, 6, 8, 12 или 20). Тогда каждое натуральное число является суммой не более чем ${\displaystyle m+1}$ фигурных чисел, соответствующих этому многограннику, то есть^[3]:

(${\displaystyle m=4}$, тетраэдр) не более 5 тетраэдральных чисел;

(${\displaystyle m=6}$, октаэдр) не более 7 октаэдральных чисел;

(${\displaystyle m=8}$, куб) не более 9 кубических чисел;

(${\displaystyle m=12}$, икосаэдр) не более 13 икосаэдральных чисел;

(${\displaystyle m=20}$, додекаэдр) не более 21 додекаэдральных чисел.

Эта гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута.