Теорема Нэша о регулярных вложениях

Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое ${\displaystyle m}$-мерное риманово многообразие ${\displaystyle (V^{m},\;g)}$ класса ${\displaystyle C^{r}}$, ${\displaystyle 3\leqslant r\leqslant \infty }$, допускает изометрическое ${\displaystyle C^{r}}$ вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ для достаточно большого ${\displaystyle n}$.

Установлена американским математиком Джоном Нэшем, Нэш также дал явную оценку ${\displaystyle n\geqslant m(m+1)(3m+11)/2}$, которая позднее несколько раз улучшалась, в частности теорема справедлива для ${\displaystyle n\geqslant m^{2}+10m+3}$^[1].

В доказательстве был введён новый метод решения дифференциальных уравнений, так называемая теорема Нэша — Мозера изначально доказанная Нэшем. Существенное упрощение этой части доказательства было дано Матиасом Гюнтером.^[2] Его метод был слегка упрощён в нескольких заметках Дэна Янга^[3] Теренсa Тао^[4] и Ральфа Хоурда^[5]