Теорема Нэша — Кёйпера

Пусть ${\displaystyle (M,g)}$ есть Риманово многообразие и ${\displaystyle f\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q}}$ есть короткое ${\displaystyle C^{\infty }}$-гладкое вложение (или погружение) в Евклидово пространство ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{q}}$ и ${\displaystyle q>n}$. Тогда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует вложение (или соответственно погружение) ${\displaystyle f_{\varepsilon }\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q}}$ такое, что

1. ${\displaystyle f_{\varepsilon }}$ является ${\displaystyle C^{1}}$-гладким,
2. (изометричность) для любых двух касательных векторов ${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$ в касательном пространстве точки ${\displaystyle x\in M}$ мы имеем:

${\displaystyle g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle .}$

1. (${\displaystyle C^{0}}$-близость) ${\displaystyle |f(x)-f_{\varepsilon }(x)|<\varepsilon }$ для всех ${\displaystyle x\in M}$.