Спектральная плотность мощности

Спектральная плотность мощности (англ. power spectral density, PSD) — фундаментальное понятие в обработке сигналов, характеризующее распределение мощности сигнала по частотным составляющим, из которых формируется сигнал. Согласно принципам фурье-анализа, любой физический сигнал может быть представлен как смесь частот, где суммарная мощность распределена между отдельными частями спектра. Статистическое среднее энергии или мощности (в том числе шумовых сигналов), вычисленное через их частотное содержание, называется спектральной плотностью.

Спектральная плотность излучения люминесцентной лампы по длине волны: пики соответствуют переходам между уровнями, отмечены стрелками.

Осциллограмма речи (слева) и её спектр плотности мощности (справа).

Единицы измерения

См. также: Преобразование Фурье § Единицы измерения

В физике сигнал может представлять собой волну — например, электромагнитную, акустическую или колебания механизма. Спектральная плотность мощности описывает, как мощность сигнала распределена по частотам, и обычно выражается в ваттах на герц (Вт/Гц).

Если сигнал представляет собой только временное изменение напряжения, то «мощность» оценивается по квадрату сигнала, пропорциональному действительной мощности, выделяемой на сопротивлении. В таком случае единица измерения — В²·Гц⁻¹, а для спектральной плотности энергии — В²·с·Гц⁻¹ (энергия есть мощность, умноженная на время, например ватт-час).

В общем случае единицей спектральной плотности мощности будет отношение дисперсии к единице частоты: например, для смещений (в метрах) во времени (в секундах) — м²/Гц. В анализе случайных вибраций для ускорений используется единица g₀²·Гц⁻¹, где g₀ — стандартное ускорение свободного падения.

Математически нет необходимости назначать физическую размерность самому сигналу или независимой переменной; ниже под x(t) подразумевается абстрактный сигнал по времени.

Односторонний и двусторонний спектр

Спектральная плотность мощности может быть либо односторонней (по положительным частотам), либо двусторонней (по положительным и отрицательным частотам, но с амплитудой, уменьшенной вдвое). В инженерии обычно используют односторонний спектр, в физике — двусторонний.

Определения

Спектральная плотность энергии

В обработке сигналов энергия сигнала x(t) определяется как

$$E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.$$

Если общая энергия конечна (то есть x(t) — квадратично интегрируемая функция), можно применить теорему Парсиваля (или Планшереля):

$$\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,$$

где

$${\hat {x}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt,$$

— преобразование Фурье сигнала по частоте f (в Гц). Теорема справедлива и для дискретных временных сигналов. Следовательно, величина \left интерпретируется как плотность энергии по частоте, то есть количество энергии в интервале df около частоты f.

Таким образом, спектральная плотность энергии сигнала определяется как: ${\bar {S}}_{xx}(f)=|{\hat {x}}(f)|^{2}$

Функция \bar{S}_{xx}(f) и автокорреляция сигнала x(t) связаны преобразованием Фурье.

Физический пример измерения спектральной плотности энергии: пусть V(t) — электрическое напряжение импульса на линии передачи с волновым сопротивлением Z, завершённой согласованной нагрузкой. Мощность на нагрузке P = V(t)²/Z, энергия — интеграл этой мощности по времени. Чтобы измерить спектральную плотность на частоте f, между линией и нагрузкой включают полосовой фильтр шириной Δf, измеряют рассеиваемую энергию E(f) — тогда спектральная плотность примерно E(f)/Δf. В этом случае размерность выходит Дж/Гц (джауль на герц), иногда опускают деление на Z — тогда В²/Гц.

Для дискретного сигнала x_n, например отсчётов через интервал Δt:

$${\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}$$

Здесь \hat x_d(f) — дискретное преобразование Фурье.

Спектральная плотность мощности

Спектральная плотность мощности анизотропии температуры космического микроволнового фона. Сплошная кривая — теоретическая модель.

Определение спектральной плотности энергии подходит для временно-локализованных («импульсных») сигналов. Для сигналов, существующих на бесконечном интервале времени (или процессах с неограниченной энергией), используют спектральную плотность мощности, существующую для стационарных процессов. Здесь мощность может быть как физической (в ваттах), так и абстрактно определённой, например, по квадрату сигнала (см. дисперсия функции x(t)).

Средняя мощность сигнала по времени:

$$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt$$

Это эквивалентно интегралу по всему времени с окном w_T(t), равным 1 на интервале T и 0 вне его:

$$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt$$

Для таких сигналов энергия расходится (стремится к бесконечности), поэтому интеграл наряду с повышением T тоже расходится.

Формально для большинства интересных сигналов обычное преобразование Фурье не существует, но его обобщения (например, преобразование Фурье-Стилтьеса) позволяют применять теорему Парсиваля:

$$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df,$$

где \hat{x}_{T}(f) — преобразование Фурье сигнала, ограниченного окном длиной T.

Соответственно, спектральная плотность мощности определяется как: $S_{xx}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}$

Согласно теореме свёртки и преобразованию Винера-Хинчина, спектральная плотность мощности есть преобразование Фурье автокорреляционной функции: $S_{xx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,d\tau ={\hat {R}}_{xx}(f)$ Это равенство часто используется как определение спектральной плотности мощности через автокорреляционную функцию.

Мощность сигнала в заданной полосе частот [f₁, f₂] вычисляется интегралом: $P_{\textsf {band-limited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df$ (фактор 2 возникает из-за симметрии по положительным и отрицательным частотам).

Для дискретных сигналов x_n (отсчётов) равномерно распределённых во времени:

$$S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}$$

В реальных измерениях оценивается по конечному числу реализаций, а затем усредняется (периодограмма). По мере увеличения длины интервала и числа усреднений оценка сходится к теоретической PSD.

Для двух сигналов определена кросс-спектральная плотность.

Свойства спектральной плотности мощности

Основные свойства спектральной плотности мощности:

• Спектральная плотность мощности — всегда вещественное неотрицательное значение; для действительных сигнальных процессов это чётная функция: {{{1}}}.
• Автокорреляционная функция R_{xx}(t) восстанавливается по спектру S_{xx}(f) через обратное преобразование Фурье.
• Используя теорему Парсиваля, полный интеграл спектральной плотности по всем частотам равен дисперсии (средней мощности): $P=\operatorname {E} (x^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\!S_{xx}(f)\,df$
• Для реального процесса x(t) поддерживается интегральный спектр $F(f)=2\int _{0}^{f}S_{xx}(f')\,df'$, дающий среднюю мощность в диапазоне от 0 до f.

Оценивание

Оценка спектральной плотности случайного сигнала по временным отсчётам проводится с помощью статистических методов. Это могут быть как параметрические (например, подгонка авторегрессионной модели), так и непараметрические (напр., периодограмма) подходы, основанные на анализе как во временной, так и в частотной областях.

Практически спектральную плотность обычно находят методами преобразования Фурье — например, метод Уэлча, но также используются и иные подходы, например, метод максимальной энтропии.

Связанные понятия

• Центр спектра сигнала (spectral centroid) — частота, делящая спектр на две равные по мощности части.
• Частота спектральной границы (spectral edge frequency, SEF) — частота, ниже которой расположено заданное число процентов (обычно 75-95 %) полной мощности сигнала; часто применяется при анализе ЭЭГ, в том числе для оценки глубины наркоза и стадий сна.
• Спектральная оболочка (spectral envelope) — огибающая кривая спектра в данный момент времени (окне анализа). В дистанционном зондировании она определяет характер яркости в различных спектральных диапазонах.
• Спектральная плотность есть функция по частоте, не по времени. Однако если вычислять спектр в движущемся окне и строить график значения для каждой позиции окна, получаем спектрограмму — основу методов анализа, таких как преобразование Фурье на коротком промежутке и вейвлеты.
• Фазовый спектр (phase spectrum) — график фазы (или мнимой части) спектра по частоте. В отличие от амплитудного спектра (PSD), фаза требуется для однозначного восстановления временного сигнала, а только по PSD это невозможно. Подробнее см. Групповая задержка, фазовый шум, ультракороткие импульсы#Спектральная фаза.
• Амплитудная спектральная плотность (ASD, amplitude spectral density) — корень из PSD; для напряжения — размерность В·Гц^-½. Используется для сопоставления уровня сигнала и формы спектра. Но только интеграл PSD по всем частотам имеет смысл как полная мощность.

Применения

Подробное рассмотрение темы: Спектр

Любой временной сигнал имеет соответствующий частотный спектр. К ним относятся свет (его спектр — цвет), музыкальные ноты (высота), радио- и ТВ-частоты, а также периодические явления типа суточного вращения Земли. По виду спектра можно узнать особенности источника и механизма формирования сигнала. Часто видны пики — отдельные синусоидальные или гармонические составляющие, полосы усиления или подавления (резонанс, фильтр с полосой подавления).

Электротехника

Спектрограмма сигнала FM-радио: по горизонтали — частота, по вертикали — время.

Понятие спектральной плотности мощности лежит в основе анализа сигналов в электротехнике, особенно в системах электронной связи, включая радиосвязь, радары, пассивное дистанционное зондирование. Для наблюдения и измерения спектра используются спектроанализаторы.

Современные спектроанализаторы вычисляют модуль коротковременного преобразования Фурье исследуемого сигнала. Если сигнал стационарен, этот метод даёт хорошую усреднённую оценку спектральной плотности мощности.

Космология

В космологии спектр — важная характеристика первичных флуктуаций в ранней Вселенной (например, флуктуации температуры реликтового излучения).

Примечания

Литература

• Birolini, Alessandro. Reliability Engineering. — Springer Science & Business Media, 2007. — ISBN 978-3-540-49388-4.
• Brown, Robert Grover. Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering with Matlab Exercises and Solutions / Robert Grover Brown, Patrick Y. C. Hwang. — Wiley-Liss, 1997. — ISBN 978-0-471-12839-7.
• Davenport, Wilbur B. (Jr). An Introduction to the Theory of Random Signals and Noise / Wilbur B. (Jr) Davenport, William L. Root. — Wiley-IEEE Press, 1987. — ISBN 978-0-87942-235-6.
• Imtiaz, Syed Anas; Rodriguez-Villegas, Esther (2014). “A Low Computational Cost Algorithm for REM Sleep Detection Using Single Channel EEG”. Annals of Biomedical Engineering [англ.]. 42 (11): 2344—59. DOI:10.1007/s10439-014-1085-6. PMC 4204008. PMID 25113231.
• Iranmanesh, Saam; Rodriguez-Villegas, Esther (2017). “An Ultralow-Power Sleep Spindle Detection System on Chip”. IEEE Transactions on Biomedical Circuits and Systems [англ.]. 11 (4): 858—866. DOI:10.1109/TBCAS.2017.2690908. HDL:10044/1/46059. PMID 28541914. S2CID 206608057.
• Maral, Gerard. VSAT Networks. — Wiley, 2004. — ISBN 978-0-470-86684-9.
• Miller, Scott. Probability and Random Processes / Scott Miller, Donald Childers. — Academic Press, 2012. — ISBN 978-0-12-386981-4.
• Norton, M. P. Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers / M. P. Norton, D. G. Karczub. — Cambridge University Press, 2003. — ISBN 978-0-521-49913-2.
• Oppenheim, Alan V. Signals, Systems & Inference / Alan V. Oppenheim, George C. Verghese. — Pearson, 2016. — ISBN 978-0-13-394328-3.
• Risken, Hannes. The Fokker-Planck Equation / Hannes Risken, Till Frank. — Springer Science & Business Media, 1996. — ISBN 978-3-540-61530-9.
• Stein, Jonathan Y. Digital Signal Processing. — Wiley-Interscience, 2000. — ISBN 978-0-471-29546-4.

Ссылки

• Скрипты Matlab для спектральной плотности мощности