Теорема Егорова

Пусть дано пространство с конечной мерой ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ так, что ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$, и определённая на нём последовательность измеримых функций ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, сходящаяся почти всюду к ${\displaystyle f}$. Тогда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует множество ${\displaystyle X_{\varepsilon }\subset X}$ такое, что ${\displaystyle \mu (X\setminus X_{\varepsilon })<\varepsilon }$, и последовательность ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ равномерно сходится к ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$.

• Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
• Конечность ${\displaystyle \mu (X)}$ принципиальна. Пусть, например, ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ — борелева σ-алгебра на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, а ${\displaystyle m}$ — мера Лебега. Заметим, что ${\displaystyle m(\mathbb {R} )=\infty }$. Пусть ${\displaystyle f_{n}(x)=\mathbf {1} _{[n,n+1]}(x),\;x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} }$, где ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ обозначает индикатор-функцию множества ${\displaystyle A}$. Тогда ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

• Теорема Егорова естественно обобщается на случай функций со значением в Банаховом пространстве.^[1]

• Теорема Лузина