Теорема Больцано — Вейерштрасса

Подробнее: пусть задана последовательность действительных чисел ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$, ограниченная в том смысле, что ${\displaystyle |x_{k}|\leqslant C}$ для всех ${\displaystyle k}$ при некотором ${\displaystyle C>0}$. Тогда существуют номера ${\displaystyle k_{1}<k_{2}<\ldots }$ и число ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$, для которых подпоследовательность ${\displaystyle x_{k_{1}},x_{k_{2}},\ldots }$ сходится к ${\displaystyle \xi }$.

Теорема выводится из свойства полноты множества действительных чисел. В наиболее известном варианте доказательства используется свойство полноты в форме принципа вложенных отрезков. Изложенный ниже способ называется методом Больцано, или методом деления пополам^[6].

Из ограниченности последовательности следует, что все её члены лежат на некотором отрезке числовой прямой, который обозначим ${\displaystyle [a_{0},b_{0}]}$.

Разделим отрезок ${\displaystyle [a_{0},b_{0}]}$ пополам на два равных отрезка. По крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$.

На следующем шаге повторим процедуру с отрезком ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$: разделим его на два равных отрезка и выберем из них тот, на котором лежит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его ${\displaystyle [a_{2},b_{2}]}$.

Продолжая процесс, получим последовательность вложенных отрезков

${\displaystyle [a_{0},b_{0}]\supset [a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots }$

в которой длина каждого следующего отрезка вдвое меньше длины предыдущего и каждый отрезок содержит бесконечное число членов последовательности ${\displaystyle \{x_{k}\}}$.

Длины отрезков стремятся к нулю:

${\displaystyle |b_{m}-a_{m}|={\frac {|b_{0}-a_{0}|}{2^{m}}}\to 0.}$

В силу принципа вложенных отрезков Коши — Кантора, существует единственная точка ${\displaystyle \xi }$, принадлежащая всем отрезкам:

${\displaystyle a_{m}\leqslant \xi \leqslant b_{m},\;m=0,1,\ldots }$

По построению на каждом отрезке ${\displaystyle [a_{m},b_{m}]}$ лежит бесконечное число членов последовательности. Выберем

${\displaystyle x_{k_{m}}\in [a_{m},b_{m}],\;m=0,1,2,\ldots ,}$

соблюдая при этом условие возрастания номеров:

${\displaystyle k_{0}<k_{1}<\ldots }$

Это возможно, так как на каждом отрезке ${\displaystyle [a_{m},b_{m}]}$ содержится бесконечно много членов последовательности ${\displaystyle \{x_{k}\}}$. Поэтому после выбора индекса ${\displaystyle k_{m}}$ на отрезке ${\displaystyle [a_{m+1},b_{m+1}]}$ остаётся бесконечно много членов с номерами, большими ${\displaystyle k_{m}}$ (отбрасываем конечное число членов с номерами ${\displaystyle \leqslant k_{m}}$). Среди них выбираем произвольный и обозначаем его номер ${\displaystyle k_{m+1}}$. Тем самым обеспечивается строгое возрастание ${\displaystyle k_{1}<k_{2}<\ldots }$

Тогда подпоследовательность ${\displaystyle \{x_{k_{m}}\}}$ сходится к точке ${\displaystyle \xi }$. Это следует из того, что расстояние от ${\displaystyle x_{k_{m}}}$ до ${\displaystyle \xi }$ не превосходит длины содержащего их отрезка ${\displaystyle [a_{m},b_{m}]}$, откуда

${\displaystyle |x_{k_{m}}-\xi |\leqslant |b_{m}-a_{m}|\to 0.}$

Пусть задана последовательность точек пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$

и пусть эта последовательность ограничена, то есть

${\displaystyle \|x_{k}\|\leqslant C,\;k=1,2,\ldots }$

где ${\displaystyle C>0}$ — некоторое число, а ${\displaystyle \|\cdot \|}$ — произвольная норма в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, например евклидова норма ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}}$. В силу эквивалентности всех норм в конечномерном пространстве выбор нормы не влияет на смысл утверждений об ограниченности и сходимости^[2].

Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность

${\displaystyle x_{k_{1}},x_{k_{2}},\ldots }$

которая сходится к некоторой точке пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Теорему Больцано — Вейерштрасса в такой формулировке иногда называют принципом компактности ограниченной последовательности.

Нередко теорему Больцано — Вейерштрасса дополняют следующим утверждением.

Если последовательность точек пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ неограничена, то из неё можно выделить подпоследовательность, имеющую предел ${\displaystyle \infty }$.

Для случая ${\displaystyle n=1}$ эту формулировку можно уточнить: из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую пределом бесконечность определённого знака (${\displaystyle +\infty }$ или ${\displaystyle -\infty }$).

Таким образом, всякая числовая последовательность содержит подпоследовательность, имеющую предел в расширенной числовой прямой ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$.

Теорема Больцано — Вейерштрасса обобщается на случай пространства произвольной размерности^[6]. Всюду ниже норма предполагается евклидовой; общий случай сводится к нему в силу эквивалентности норм в конечномерном пространстве.

Пусть задана последовательность точек пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}=(x_{1}^{(1)},x_{1}^{(2)},\ldots ,x_{1}^{(n)})\\x_{2}=(x_{2}^{(1)},x_{2}^{(2)},\ldots ,x_{2}^{(n)})\\\ldots \\\end{matrix}}}$

(нижний индекс — номер члена последовательности, верхний — номер координаты). Если последовательность точек пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ограничена, то каждая из числовых последовательностей координат:

${\displaystyle x_{1}^{(\nu )},x_{2}^{(\nu )},\ldots }$

также ограничена (${\displaystyle \nu =1,\ldots ,n}$ — номер координаты).

В силу одномерного варианта теоремы Больцано — Вейерштрасса из последовательности ${\displaystyle \{x_{k}\}}$ можно выделить подпоследовательность точек ${\displaystyle \{x_{k_{m}}\}}$, первые координаты которых ${\displaystyle \{x_{k_{m}}^{(1)}\}}$ образуют сходящуюся последовательность. Из полученной подпоследовательности ещё раз выделим подпоследовательность, сходящуюся по второй координате. При этом сходимость по первой координате сохранится в силу того, что всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также сходится. И так далее.

После ${\displaystyle n}$ шагов получим некоторую последовательность

${\displaystyle x_{r_{1}},x_{r_{2}},\ldots ,}$

являющуюся подпоследовательностью ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ и сходящуюся по каждой из координат.

Напомним, что сходимость последовательности точек в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ эквивалентна сходимости каждой из её координатных последовательностей. Действительно, если ${\displaystyle x_{k}\to x_{0}}$ в евклидовой норме, то

${\displaystyle |x_{k}^{(\nu )}-x_{0}^{(\nu )}|\leqslant \|x_{k}-x_{0}\|\to 0}$

для каждого ${\displaystyle \nu =1,\ldots ,n}$. Обратно, если все координаты сходятся, то

${\displaystyle \|x_{k}-x_{0}\|\leqslant \sum _{\nu =1}^{n}|x_{k}^{(\nu )}-x_{0}^{(\nu )}|\to 0.}$

Следовательно, полученная подпоследовательность сходится в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. По первой теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция ограничена, поэтому величина

${\displaystyle M=\sup _{x\in [a,b]}f(x)}$

конечна. По определению точной верхней грани существует последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}\subset [a,b]}$ такая, что ${\displaystyle f(x_{n})\to M}$.

Последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ограничена (все её члены лежат на ${\displaystyle [a,b]}$), поэтому по теореме Больцано — Вейерштрасса из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность ${\displaystyle x_{n_{k}}\to x_{0}}$. Предел принадлежит отрезку: ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$, так как отрезок замкнут. В силу непрерывности функции ${\displaystyle f}$ имеем:

${\displaystyle f(x_{0})=\lim _{k\to \infty }f(x_{n_{k}})=M.}$

Таким образом, функция достигает своей точной верхней грани в точке ${\displaystyle x_{0}}$. Для точной нижней грани рассуждение аналогично^[7].

Пусть ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — монотонно возрастающая ограниченная последовательность. По теореме Больцано — Вейерштрасса из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность ${\displaystyle x_{n_{k}}\to a}$.

Заметим, что ${\displaystyle a}$ — верхняя грань всей последовательности: если бы для некоторого номера ${\displaystyle N}$ было ${\displaystyle x_{N}>a}$, то в силу монотонности при всех ${\displaystyle n\geqslant N}$ выполнялось бы ${\displaystyle x_{n}\geqslant x_{N}>a}$, что противоречит сходимости подпоследовательности к ${\displaystyle a}$.

Покажем, что вся последовательность сходится к тому же пределу. Для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует номер ${\displaystyle K}$ такой, что ${\displaystyle |x_{n_{K}}-a|<\varepsilon }$, то есть ${\displaystyle x_{n_{K}}>a-\varepsilon }$. Тогда для любого ${\displaystyle n\geqslant n_{K}}$ в силу монотонности и доказанного свойства верхней грани

${\displaystyle a-\varepsilon <x_{n_{K}}\leqslant x_{n}\leqslant a,}$

откуда ${\displaystyle |x_{n}-a|<\varepsilon }$. Тем самым ${\displaystyle x_{n}\to a}$.

При доказательстве существования решения задачи минимизации непрерывной функции на компакте часто используется следующая схема: строится минимизирующая последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, для которой ${\displaystyle f(x_{n})\to \inf f}$. Из этой последовательности выделяется сходящаяся подпоследовательность (по теореме Больцано — Вейерштрасса), и в силу непрерывности функции её предел является точкой минимума.

Последовательность ${\displaystyle x_{n}=n}$ не имеет ни одной сходящейся подпоследовательности, так как любая её подпоследовательность стремится к ${\displaystyle +\infty }$. Это показывает, что условие ограниченности существенно.

В бесконечномерных пространствах теорема Больцано — Вейерштрасса, вообще говоря, неверна. Рассмотрим пространство ${\displaystyle \ell ^{2}}$ квадратично суммируемых последовательностей и последовательность единичных векторов:

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0,\ldots ),\;e_{2}=(0,1,0,\ldots ),\;e_{3}=(0,0,1,\ldots ),\ldots }$

Эта последовательность ограничена (${\displaystyle \|e_{n}\|=1}$ для всех ${\displaystyle n}$), но не имеет сходящейся подпоследовательности, так как ${\displaystyle \|e_{n}-e_{m}\|={\sqrt {2}}}$ при ${\displaystyle n\neq m}$, и критерий Коши не выполняется.

Это показывает, что конечномерность пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ является существенным условием теоремы^[6].

Теорема Больцано — Вейерштрасса устанавливает, что замкнутые ограниченные множества в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ обладают свойством секвенциальной компактности: из любой последовательности точек такого множества можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой также принадлежит этому множеству.

В функциональном анализе обобщением теоремы Больцано — Вейерштрасса на бесконечномерные пространства служит теорема Банаха — Алаоглу: замкнутый единичный шар в сопряжённом пространстве к нормированному пространству компактен в слабой* топологии^[8].

Компактность в топологическом смысле не означает, однако, возможности выделить сходящуюся последовательность: эти свойства совпадают лишь в метризуемых пространствах. Секвенциальный вариант теоремы требует дополнительного условия: если исходное пространство сепарабельно, то слабая* топология на единичном шаре сопряжённого пространства метризуема, и из любой ограниченной последовательности функционалов можно выделить слабо* сходящуюся подпоследовательность. Без сепарабельности это неверно: например, единичный шар в пространстве ${\displaystyle (\ell ^{\infty })^{*}}$ слабо* компактен, но не секвенциально компактен.

В гильбертовом пространстве из любой ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Это свойство широко используется в вариационном исчислении и теории уравнений в частных производных.

Теорема Больцано — Вейерштрасса тесно связана с критерием Коши сходимости последовательности. В полном метрическом пространстве (каковым является ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна (удовлетворяет критерию Коши). Теорема Больцано — Вейерштрасса гарантирует существование сходящейся подпоследовательности у любой ограниченной последовательности, что часто используется при доказательстве сходимости через критерий Коши.

Как уже упоминалось, Больцано использовал свою теорему при доказательстве теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции. Эта связь исторически важна, так как показывает, как теорема о предельных точках применяется к исследованию свойств непрерывных функций.

Теорема Больцано — Вейерштрасса тесно связана с теоремой Гейне — Бореля: последняя утверждает, что множество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ компактно (в смысле покрытий) тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Поскольку в метрических пространствах компактность и секвенциальная компактность равносильны, обе теоремы дают один и тот же критерий: компакты в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ — в точности замкнутые ограниченные множества. Это один из ключевых результатов, связывающих метрические и топологические свойства евклидовых пространств^[9].