Список однородных многогранников по порождающим треугольникам Шварца

Существует много связей между однородными многогранниками. Построение Витхоффа способно построить почти все однородные многогранники из треугольников Шварца. Числа, которые могут быть использованы для сторон недиэдрического треугольника Шварца, которые не обязательно приводят только к вырожденным многогранникам, равны 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3 и 5/4 (но числа с числителями 4 и 5 не могут встречаться вместе). Число 4/2 тоже можно использовать, но оно приводит к вырожденным однородным многогранникам, поскольку 4 и 2 имеют общий делитель. Существует 44 таких треугольников Шварца (5 с тетраэдральной симметрией, 7 с октаэдральной симметрией^[en] и 32 с икосаэдральной симметрией), которые, вместе с бесконечным семейством диэдрических треугольников Шварца, могут образовать почти все невырожденные однородные многогранники. Многие вырожденные однородные многогранники с полностью совпадающими вершинами, рёбрами или гранями могут быть также сгенерированы с помощью построения Витхоффа, и те, которые возникают из треугольников Шварца, не использующих 4/2, также включены в таблицы ниже вместе с их невырожденными аналогами.

Существует несколько невитхоффовых однородных многогранника, которые треугольники Шварца не могут сгенерировать. Однако большинство из них может быть получено с помощью построения Витхоффа как двойное покрытие (невитхоффов многогранник покрывается дважды) или с несколькими дополнительными гранями (см. Всеусечённый многогранник). Такие многогранники помечены в списке звёздочкой. Только для двух однородных многогранников построение Витхоффа не работает — это Большой биромбоикосододекаэдр и Большой биплосконосый биромбобидодекаэдр.

Каждая мозаика треугольников Шварца на сфере может покрыть сферу только раз, либо, вместо этого, обойти сферу кратное число раз, пересекая себя в процессе покрытия. Число раз, которые мозаика оборачивает сферу, является плотностью мозаики и обозначается μ.

Для экономии места в статье используются короткие имена многогранников, данные Джонатаном Бауэрсом (Jonathan Bowers), и известные как сокращения (акронимы) Бауэрса. Номер Маедера (система «Mathematic»^[1]^[2]) также дан. За исключением диэдрических треугольников Шварца, треугольники Шварца упорядочены по их плотности.

Согласно книге Коксетера (Коксетер, «Uniform polyhedra»^[3]), существует 4 сферических треугольника с углами π/p, π/q, π/r, где (p q r) — целые числа:

(2 2 r) — Диэдральный
(2 3 3) — Тетраэдраьный
(2 3 4) — Октаэдральный
(2 3 5) — Икосаэдральный

Они называются треугольниками Мёбиуса.

В треугольнике Шварца кроме этих троек допускаются (p q r) с рациональными числами.

Плотность (μ)	Треугольники
1	(2 3 3)	(2 3 4)	(2 3 5)
d	(2 2 n/d)
2	(3/2 3 3)	(3/2 4 4)	(3/2 5 5)	(5/2 3 3)
3	(2 3/2 3)	(2 5/2 5)
4	(3 4/3 4)	(3 5/3 5)
5	(2 3/2 3/2)	(2 3/2 4)
6	(3/2 3/2 3/2)	(5/2 5/2 5/2)	(3/2 3 5)	(5/4 5 5)
7	(2 3 4/3)	(2 3 5/2)
8	(3/2 5/2 5)
9	(2 5/3 5)
10	(3 5/3 5/2)	(3 5/4 5)
11	(2 3/2 4/3)	(2 3/2 5)
13	(2 3 5/3)
14	(3/2 4/3 4/3)	(3/2 5/2 5/2)	(3 3 5/4)
16	(3 5/4 5/2)
17	(2 3/2 5/2)
18	(3/2 3 5/3)	(5/3 5/3 5/2)
19	(2 3 5/4)
21	(2 5/4 5/2)
22	(3/2 3/2 5/2)
23	(2 3/2 5/3)
26	(3/2 5/3 5/3)
27	(2 5/4 5/3)
29	(2 3/2 5/4)
32	(3/2 5/4 5/3)
34	(3/2 3/2 5/4)
38	(3/2 5/4 5/4)
42	(5/4 5/4 5/4)

Существует семь генерирующих точек в каждом наборе p, q, r (и несколько специальных случаев):

Общий случай				Прямоугольный треугольник (r=2)
Описание	Символ Витхоффа	Конфигурация вершины	Диаграмма Коксетера	Символ Витхоффа	Конфигурация вершины	Символ Шлефли	Диаграмма Коксетера
правильный и квазиправильный	q \| p r	(p.r)^q		q \| p 2	p^q	{p,q}
	p \| q r	(q.r)^p		p \| q 2	q^p	{q,p}
	r \| p q	(q.p)^r		2 \| p q	(q.p)²	t₁{p,q}
усечённый и растянутый	q r \| p	q.2p.r.2p		q 2 \| p	q.2p.2p	t_0,1{p,q}
	p r \| q	p.2q.r.2q		p 2 \| q	p.2q.2q	t_0,1{q,p}
	p q \| r	2r.q.2r.p		p q \| 2	4.q.4.p	t_0,2{p,q}
с чётным числом граней	p q r \|	2r.2q.2p		p q 2 \|	4.2q.2p	t_0,1,2{p,q}
с чётным числом граней	p q r s \|	2p.2q.-2p.-2q	-	p 2 r s \|	2p.4.-2p.⁴/₃		-
плосконосый	\| p q r	3.r.3.q.3.p		\| p q 2	3.3.q.3.p	sr{p,q}
плосконосый	\| p q r s	(4.p.4.q.4.r.4.s)/2	-	-	-		-

Существует четыре специальных случая:

p q r
s | — Смесь p q r | и p q s |. Оба символа p q r | и p q s | образуют общий базовый многогранник с некоторыми дополнительными гранями. Запись p q r
s | тогда представляет базовый многогранник, сделанный из общих граней p q r | и p q s |.
| p q r — Плосконосые формы (альтернированные).
| p q r s — Единственная плосконосая форма для Большой биромбоикосододекаэдр, который не получается из построения Витхоффа с использованием треугольной фундаментальной области. В этот символ Витхоффа входят четыре числа, поскольку имеет четырёхугольную сферическую фундаментальную область.
| (p) q (r) s — Единственная плосконосая форма для фигуры Скиллинга, которую нельзя получить построением Витхоффа.

Эта таблица преобразования символа Витхоффа в конфигурацию вершины не работает для некоторых исключительных однородных многогранников. Единственными невырожденными такими случаями являются большой усечённый кубооктаэдр (2 3 4/3 |), усечённый додекододекаэдр (2 5/3 5 |), Большой икосаэдр (| 2 3/2 3/2), большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр (| 2 3/2 5/3) и малый плосконосый икосоикосододекаэдр (| 3/2 3/2 5/2). В этих случаях вершинная фигура является крайне деформированной для того, чтобы получить однородность с плоскими гранями — в первых двух случаях это тупоугольный треугольник, а не остроугольный, а в последних трёх случаях это пентаграмма или гексаграмма вместо пятиугольника или шестиугольника, и они оборачиваются вокруг центра дважды. Это приводит к тому, что часть граней проходят сквозь многогранник и выходят с другой стороны многогранника. По этой же причине плотность многогранника не совпадает с плотностью треугольника Шварца, из которого они получены, и равны 1, 3, 7, 37 и 38 соответственно.

В диэдральных треугольниках Шварца два числа равны 2, а третье может быть произвольным рациональным числом, строго большим 1.

(2 2 n/d) – вырожденный, если НОД(n, d) > 1.

Много многогранников с диэдральной симметрией имеют двуугольные грани, что делает их вырожденными многогранниками (то есть диэдрами и осоэдрами). Столбцы таблицы, содержащие только вырожденные многогранники не включены — специальные вырожденные случаи (только для треугольников Шварца (2 2 2)) помечены большим крестом. Скрещенные антипризмы с третьим значением {p}, где p < 3/2 существовать не могут, поскольку их вершинные фигуры тогда нарушили бы неравенство треугольника. Эти невозможные фигуры также отмечены большим крестом. 3/2-скрещенная антипризма является вырожденной, поскольку в евклидовом пространстве она плоская, а потому тоже помечена большим крестом. Треугольники Шварца (2 2 n/d) перечислены здесь только для случаев НОД (n, d) = 1, в противном случае все полученные многогранники будут вырожденными.

Список даёт все возможные случаи для n ≤ 6.

(p q r)	q r \| p q.2p.r.2p	p r \| q p.2q.r.2q	p q r \| 2r.2q.2p	\| p q r 3.r.3.q.3.p
(2 2 2) (μ=1)	X	X	4.4.4 cube 4-p	3.3.3 tet 2-ap
(2 2 3) (μ=1)	4.3.4 trip 3-p	4.3.4 trip 3-p	6.4.4 hip 6-p	3.3.3.3 oct 3-ap
(2 2 3/2) (μ=2)	4.3.4 trip 3-p	4.3.4 trip 3-p	6/2.4.4 2trip 6/2-p	X
(2 2 4) (μ=1)	4.4.4 cube 4-p	4.4.4 cube 4-p	8.4.4 op 8-p	3.4.3.3 squap 4-ap
(2 2 4/3) (μ=3)	4.4.4 cube 4-p	4.4.4 cube 4-p	8/3.4.4 stop Октаграммная призма	X
(2 2 5) (μ=1)	4.5.4 pip 5-p	4.5.4 pip 5-p	10.4.4 dip 10-p	3.5.3.3 pap 5-ap
(2 2 5/2) (μ=2)	4.5/2.4 stip 5/2-p	4.5/2.4 stip 5/2-p	10/2.4.4 2pip 10/2-p	3.5/2.3.3 stap Пентаграммная антипризма
(2 2 5/3) (μ=3)	4.5/2.4 stip 5/2-p	4.5/2.4 stip 5/2-p	10/3.4.4 stiddip Декаграммная призма	3.5/3.3.3 starp Пентаграммная скрещенная антипризма
(2 2 5/4) (μ=4)	4.5.4 pip 5-p	4.5.4 pip 5-p	10/4.4.4 – 10/4-p	X
(2 2 6) (μ=1)	4.6.4 hip 6-p	4.6.4 hip 6-p	12.4.4 twip Двенадцатиугольная призма	3.6.3.3 hap 6-ap
(2 2 6/5) (μ=5)	4.6.4 hip 6-p	4.6.4 hip 6-p	12/5.4.4 stwip Додекаграммная призма	X
(2 2 n) (μ=1)	4.n.4 n-p	4.n.4 n-p	2n.4.4 2n-p	3.n.3.3 n-ap
(2 2 n/d) (μ=d)	4.n/d.4 n/d-p	4.n/d.4 n/d-p	2n/d.4.4 2n/d-p	3.n/d.3.3 n/d-ap

В тетраэдральных треугольниках Шварца максимальный числитель не должен превосходить 3.

(3 3 2)
(3 3 3/2)
(3 2 3/2)
(2 3/2 3/2)
(3/2 3/2 3/2)

#	(p q r)	q \| p r (p.r)^q	p \| q r (q.r)^p	r \| p q (q.p)^r	q r \| p q.2p.r.2p	p r \| q p.q.r.2q	p q \| r 2r.q.2r.p	p q r \| 2r.2q.2p	\| p q r 3.r.3.q.3.p
1	(3 3 2) (µ=1)	3.3.3 tet U1	3.3.3 tet U1	3.3.3.3 oct U5	3.6.6 tut U2	3.6.6 tut U2	4.3.4.3 co U7	4.6.6 toe U8	3.3.3.3.3 ike U22
2	(3 3 3/2) (µ=2)	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	3.6.3/2.6 oho Октогемиоктаэдр	3.6.3/2.6 oho Октогемиоктаэдр	2(6/2.3.6/2.3) 2oct –	2(6/2.6.6) 2tut –	2(3.3/2.3.3.3.3) 2oct+8{3} –
3	(3 2 3/2) (µ=3)	3.3.3.3 oct U5	3.3.3 tet U1	3.3.3 tet U1	3.6.6 tut U2	2(3/2.4.3.4) 2thah U4*	3(3.6/2.6/2) 3tet –	2(6/2.4.6) cho+4{6/2} Кубогемиоктаэдр	?
4	(2 3/2 3/2) (µ=5)	3.3.3 tet U1	3.3.3.3 oct U5	3.3.3 tet U1	3.4.3.4 co U7	3(6/2.3.6/2) 3tet –	3(6/2.3.6/2) 3tet –	4(6/2.6/2.4) 2oct+6{4} –	(3.3.3.3.3)/2 gike U53
5	(3/2 3/2 3/2) (µ=6)	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	(3.3.3.3.3.3)/2 2tet –	2(6/2.3.6/2.3) 2oct –	2(6/2.3.6/2.3) 2oct –	2(6/2.3.6/2.3) 2oct –	6(6/2.6/2.6/2) 6tet –	?

В октаэдральных треугольниках Шварца максимальным разрешённым числителем является 4. Существуют также октаэдральные треугольники с 4/2, но они дают только вырожденные однородные многогранники, поскольку 4 и 2 не взаимно просты.

(4 3 2)
(4 4 3/2)
(4 3 4/3)
(4 2 3/2)
(3 2 4/3)
(2 3/2 4/3)
(3/2 4/3 4/3)

#	(p q r)	q \| p r (p.r)^q	p \| q r (q.r)^p	r \| p q (q.p)^r	q r \| p q.2p.r.2p	p r \| q p.2q.r.2q	p q \| r 2r.q.2r.p	p q r \| 2r.2q.2p	\| p q r 3.r.3.q.3.p
1	(4 3 2) (µ=1)	4.4.4 cube U6	3.3.3.3 oct U5	3.4.3.4 co U7	3.8.8 tic U9	4.6.6 toe U8	4.3.4.4 sirco U10	4.6.8 girco U11	3.3.3.3.4 snic U12
2	(4 4 3/2) (µ=2)	(3/2.4)⁴ oct+6{4} –	(3/2.4)⁴ oct+6{4} –	(4.4.4.4.4.4)/2 2cube –	3/2.8.4.8 socco Малый кубокбооктаэдр	3/2.8.4.8 socco Малый кубокбооктаэдр	2(6/2.4.6/2.4) 2co –	2(6/2.8.8) 2tic –	?
3	(4 3 4/3) (µ=4)	(4.4.4.4.4.4)/2 2cube –	(3/2.4)⁴ oct+6{4} –	(3/2.4)⁴ oct+6{4} –	3/2.8.4.8 socco Малый кубокбооктаэдр	2(4/3.6.4.6) 2cho Кубогемиоктаэдр	3.8/3.4.8/3 gocco Большой кубокубооктаэдр	6.8.8/3 cotco Кубоусечённый кубооктаэдр	?
4	(4 2 3/2) (µ=5)	3.4.3.4 co U7	3.3.3.3 oct U5	4.4.4 cube U6	3.8.8 tic U9	4.4.3/2.4 querco Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр	4(4.6/2.6/2) 2oct+6{4} –	2(4.6/2.8) sroh+8{6/2} Малый ромбогексаэдр	?
5	(3 2 4/3) (µ=7)	3.4.3.4 co U7	4.4.4 cube U6	3.3.3.3 oct U5	4.6.6 toe U8	4.4.3/2.4 querco Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр	3.8/3.8/3 quith Звёздчатый усечённый гексаэдр	4.6/5.8/3 quitco Большой усечённый кубооктаэдр	?
6	(2 3/2 4/3) (µ=11)	4.4.4 cube U6	3.4.3.4 co U7	3.3.3.3 oct U5	4.3.4.4 sirco U10	4(4.6/2.6/2) 2oct+6{4} –	3.8/3.8/3 quith Звёздчатый усечённый гексаэдр	2(4.6/2.8/3) groh+8{6/2} U21*	?
7	(3/2 4/3 4/3) (µ=14)	(3/2.4)⁴ = (3.4)⁴/3 oct+6{4} –	(4.4.4.4.4.4)/2 2cube –	(3/2.4)⁴ = (3.4)⁴/3 oct+6{4} –	2(6/2.4.6/2.4) 2co –	3.8/3.4.8/3 gocco Большой кубокубооктаэдр	3.8/3.4.8/3 gocco Большой кубокубооктаэдр	2(6/2.8/3.8/3) 2quith –	?

В икосаэдральных треугольниках Шварца максимальным разрешённым числителем может быть 5. Кроме того, числитель 4 не может быть использован во всех икосаэдральных треугольниках Шварца, хотя числители 2 и 3 разрешены. (Если бы 4 и 5 могли появляться одновременно в некоторых треугольниках Шварца, они должны были бы появиться и в некоторых треугольниках Мёбиуса, но это невозможно, так как (2 4 5) является гиперболическим треугольником, а не сферическим.)

(5 3 2)
(3 3 5/2)
(5 5 3/2)
(5 5/2 2)
(5 3 5/3)
(5/2 5/2 5/2)
(5 3 3/2)
(5 5 5/4)
(3 5/2 2)
(5 5/2 3/2)
(5 2 5/3)
(3 5/2 5/3)
(5 3 5/4)
(5 2 3/2)
(3 2 5/3)
(5/2 5/2 3/2)
(3 3 5/4)
(3 5/2 5/4)
(5/2 2 3/2)
(5/2 5/3 5/3)
(3 5/3 3/2)
(3 2 5/4)
(5/2 2 5/4)
(5/2 3/2 3/2)
(2 5/3 3/2)
(5/3 5/3 3/2)
(2 5/3 5/4)
(2 3/2 5/4)
(5/3 3/2 5/4)
(3/2 3/2 5/4)
(3/2 5/4 5/4)
(5/4 5/4 5/4)

#	(p q r)	q \| p r (p.r)^q	p \| q r (q.r)^p	r \| p q (q.p)^r	q r \| p q.2p.r.2p	p r \| q p.2q.r.2q	p q \| r 2r.q.2r.p	p q r \| 2r.2q.2p	\| p q r 3.r.3.q.3.p
1	(5 3 2) (µ=1)	5.5.5 doe U23	3.3.3.3.3 ike U22	3.5.3.5 id U24	3.10.10 tid U26	5.6.6 ti U25	4.3.4.5 srid U27	4.6.10 grid U28	3.3.3.3.5 snid U29
2	(3 3 5/2) (µ=2)	3.5/2.3.5/2.3.5/2 sidtid Малый битригональный икосододекаэдр	3.5/2.3.5/2.3.5/2 sidtid Малый битригональный икосододекаэдр	(3¹⁰)/2 2ike –	3.6.5/2.6 siid Малый икосоикосододекаэдр	3.6.5/2.6 siid Малый икосоикосододекаэдр	2(10/2.3.10/2.3) 2id –	2(10/2.6.6) 2ti –	3.5/2.3.3.3.3 seside Малый плосконосый икосоикосододекаэдр
3	(5 5 3/2) (µ=2)	(5.3/2)⁵ cid Малый составной икосододекаэдр	(5.3/2)⁵ cid Малый составной икосододекаэдр	(5.5.5.5.5.5)/2 2doe –	5.10.3/2.10 saddid Малый додекоикосододекаэдр	5.10.3/2.10 saddid Малый додекоикосододекаэдр	2(6/2.5.6/2.5) 2id –	2(6/2.10.10) 2tid –	2(3.3/2.3.5.3.5) 2id+40{3} –
4	(5 5/2 2) (µ=3)	(5.5.5.5.5)/2 gad U35	5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 sissid U34	5/2.5.5/2.5 did U36	5/2.10.10 tigid Усечённый большой додекаэдр	5.10/2.10/2 3doe –	4.5/2.4.5 raded Ромбододекододекаэдр	2(4.10/2.10) sird+12{10/2} Малый ромбододекаэдр	3.3.5/2.3.5 siddid Плосконосый додекододекаэдр
5	(5 3 5/3) (µ=4)	5.5/3.5.5/3.5.5/3 ditdid Битригональный додекаэдр	(3.5/3)⁵ gacid Большой составной икосододекаэдр	(3.5)⁵/3 cid Малый составной икосододекаэдр	3.10.5/3.10 sidditdid Малый битригональный додекоикосододекаэдр	5.6.5/3.6 ided Иикосододекододекаэдр	10/3.3.10/3.5 gidditdid Большой битригональный додекоикосододекаэдр	10/3.6.10 idtid Икосоусечённый додекододекаэдр	3.5/3.3.3.3.5 sided Плосконосый икосододекододекаэдр
6	(5/2 5/2 5/2) (µ=6)	(5/2)¹⁰/2 2sissid –	(5/2)¹⁰/2 2sissid –	(5/2)¹⁰/2 2sissid –	2(5/2.10/2)² 2did –	2(5/2.10/2)² 2did –	2(5/2.10/2)² 2did –	6(10/2.10/2.10/2) 6doe –	3(3.5/2.3.5/2.3.5/2) 3sidtid –
7	(5 3 3/2) (µ=6)	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid Большой битигональный икосододекаэдр	(3¹⁰)/4 2gike –	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid Большой битигональный икосододекаэдр	2(3.10.3/2.10) 2seihid Малый икосогемидодекаэдр	5.6.3/2.6 giid Большой икосоикосододекаэдр	5(6/2.3.6/2.5) 3ike+gad –	2(6.6/2.10) siddy+20{6/2} Малый додекоикосаэдр	5(3.3.3.3.3.5)/2 5ike+gad –
8	(5 5 5/4) (µ=6)	(5¹⁰)/4 2gad –	(5¹⁰)/4 2gad –	(5¹⁰)/4 2gad –	2(5.10.5/4.10) 2sidhid Малый додекогемидодекаэдр	2(5.10.5/4.10) 2sidhid Малый додекогемидодекаэдр	10/4.5.10/4.5 2did –	2(10/4.10.10) 2tigid –	3(3.5.3.5.3.5) 3cid –
9	(3 5/2 2) (µ=7)	(3.3.3.3.3)/2 gike U53	5/2.5/2.5/2 gissid U52	5/2.3.5/2.3 gid U54	5/2.6.6 tiggy Усечённый большой икосаэдр	3.10/2.10/2 2gad+ike –	3(4.5/2.4.3) sicdatrid Малый составной ромбоикосододекаэдр	4.10/2.6 ri+12{10/2} Ромбоикосаэдр	3.3.5/2.3.3 gosid Большой плосконосый икосододекаэдр
10	(5 5/2 3/2) (µ=8)	(5.3/2)⁵ cid Малый составной икосододекаэдр	(5/3.3)⁵ gacid Большой составной икосододекаэдр	5.5/3.5.5/3.5.5/3 ditdid Битригональный додекаэдр	5/3.10.3.10 sidditdid Малый битригональный додекоикосододекаэдр	5(5.10/2.3.10/2) ike+3gad –	3(6/2.5/2.6/2.5) sidtid+gidtid –	4(6/2.10/2.10) id+seihid+sidhid –	?
11	(5 2 5/3) (µ=9)	5.5/2.5.5/2 did U36	5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 sissid U34	(5.5.5.5.5)/2 gad U35	5/2.10.10 tigid Усечённый большой додекаэдр	3(5.4.5/3.4) cadditradid Составной ромбододекододекаэдр	10/3.5.5 quit sissid Малый звёздчатый усечённый додекаэдр	10/3.4.10/9 quitdid Усечённый додекадодекаэдр	3.5/3.3.3.5 isdid Вывернутый плосконосый додекододекаэдр
12	(3 5/2 5/3) (µ=10)	(3.5/3)⁵ gacid Большой составной икосододекаэдр	(5/2)⁶/2 2gissid –	(5/2.3)⁵/3 gacid Большой составной икосододекаэдр	2(5/2.6.5/3.6) 2sidhei Малый додекогемиикосаэдр	3(3.10/2.5/3.10/2) ditdid+gidtid –	10/3.5/2.10/3.3 gaddid Большой додекоикосододекаэдр	10/3.10/2.6 giddy+12{10/2} Большой додекоикосаэдр	3.5/3.3.5/2.3.3 gisdid Большой плосконосый додекоикосододекаэдр
13	(5 3 5/4) (µ=10)	(5.5.5.5.5.5)/2 2doe –	(3/2.5)⁵ cid Малый составной икосододекаэдр	(3.5)⁵/3 cid Малый составной икосододекаэдр	3/2.10.5.10 saddid Малый додекоикосододекаэдр	2(5.6.5/4.6) 2gidhei Большой додекогемиикосаэдр	3(10/4.3.10/4.5) sidtid+ditdid –	2(10/4.6.10) siddy+12{10/4} Малый додекоикосаэдр	?
14	(5 2 3/2) (µ=11)	5.3.5.3 id U24	3.3.3.3.3 ike U22	5.5.5 doe U23	3.10.10 tid U26	3(5/4.4.3/2.4) gicdatrid Большой составной ромбоикосододекаэдр	5(5.6/2.6/2) 2ike+gad –	2(6/2.4.10) sird+20{6/2} Малый ромбододекаэдр	5(3.3.3.5.3)/2 4ike+gad –
15	(3 2 5/3) (µ=13)	3.5/2.3.5/2 gid U54	5/2.5/2.5/2 gissid U52	(3.3.3.3.3)/2 gike U53	5/2.6.6 tiggy Усечённый большой икосаэдр	3.4.5/3.4 qrid Невыпуклый большой ромбоикосододекаэдр	10/3.10/3.3 quit gissid Большой звёздчатый усечённый додекаэдр	10/3.4.6 gaquatid Большой усечённый икосододекаэдр	3.5/3.3.3.3 gisid Большой вывернутый плосконосый икосододекаэдр
16	(5/2 5/2 3/2) (µ=14)	(5/3.3)⁵ gacid Большой составной икосододекаэдр	(5/3.3)⁵ gacid Большой составной икосододекаэдр	(5/2)⁶/2 2gissid –	3(5/3.10/2.3.10/2) ditdid+gidtid –	3(5/3.10/2.3.10/2) ditdid+gidtid –	2(6/2.5/2.6/2.5/2) 2gid –	10(6/2.10/2.10/2) 2ike+4gad –	?
17	(3 3 5/4) (µ=14)	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid Большой икосоикосододекаэдр	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid Большой икосоикосододекаэдр	(3)¹⁰/4 2gike –	3/2.6.5.6 giid Большой икосоикосододекаэдр	3/2.6.5.6 giid Большой икосоикосододекаэдр	2(10/4.3.10/4.3) 2gid –	2(10/4.6.6) 2tiggy –	?
18	(3 5/2 5/4) (µ=16)	(3/2.5)⁵ cid Малый составной икосододекаэдр	5/3.5.5/3.5.5/3.5 ditdid Битригональный додекаэдр	(5/2.3)⁵/3 gacid Большой составной икосододекаэдр	5/3.6.5.6 ided Иикосододекододекаэдр	5(3/2.10/2.5.10/2) ike+3gad –	5(10/4.5/2.10/4.3) 3sissid+gike –	4(10/4.10/2.6) did+sidhei+gidhei –	?
19	(5/2 2 3/2) (µ=17)	3.5/2.3.5/2 gid U54	(3.3.3.3.3)/2 gike U53	5/2.5/2.5/2 gissid U52	5(10/2.3.10/2) 2gad+ike –	5/3.4.3.4 qrid Невыпуклый большой ромбоикосододекаэдр	5(6/2.6/2.5/2) 2gike+sissid –	6(6/2.4.10/2) 2gidtid+rhom –	?
20	(5/2 5/3 5/3) (µ=18)	(5/2)¹⁰/2 2sissid –	(5/2)¹⁰/2 2sissid –	(5/2)¹⁰/2 2sissid –	2(5/2.10/2)² 2did –	2(5/2.10/3.5/3.10/3) 2gidhid Большой додекогемидодекаэдр	2(5/2.10/3.5/3.10/3) 2gidhid Большой додекогемидодекаэдр	2(10/3.10/3.10/2) 2quitsissid –	?
21	(3 5/3 3/2) (µ=18)	(3¹⁰)/2 2ike –	5/2.3.5/2.3.5/2.3 sidtid Малый битригональный икосододекаэдр	5/2.3.5/2.3.5/2.3 sidtid Малый битригональный икосододекаэдр	5/2.6.3.6 siid Малый икосоикосододекаэдр	2(3.10/3.3/2.10/3) geihid Большой икосогемидодекаэдр	5(6/2.5/3.6/2.3) sissid+3gike –	2(6/2.10/3.6) giddy+20{6/2} Большой додекоикосаэдр	?
22	(3 2 5/4) (µ=19)	3.5.3.5 id U24	5.5.5 doe U23	3.3.3.3.3 ike U22	5.6.6 ti U25	3(3/2.4.5/4.4) gicdatrid Боьшой составной ромбоикосододекаэдр	5(10/4.10/4.3) 2sissid+gike –	2(10/4.4.6) ri+12{10/4} Ромбоикосаэдр	?
23	(5/2 2 5/4) (µ=21)	5/2.5.5/2.5 did U36	(5.5.5.5.5)/2 gad U35	5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 sissid U34	3(10/2.5.10/2) 3doe –	3(5/3.4.5.4) cadditradid Составной ромбододекододекаэдр	3(10/4.5/2.10/4) 3gissid –	6(10/4.4.10/2) 2ditdid+rhom –	?
24	(5/2 3/2 3/2) (µ=22)	5/2.3.5/2.3.5/2.3 sidtid Малый битригональный икосододекаэдр	(3¹⁰)/2 2ike –	5/2.3.5/2.3.5/2.3 sidtid Малый битригональный икосододекаэдр	2(3.10/2.3.10/2) 2id –	5(5/3.6/2.3.6/2) sissid+3gike –	5(5/3.6/2.3.6/2) sissid+3gike –	10(6/2.6/2.10/2) 4ike+2gad –	(3.3.3.3.3.5/2)/2 sirsid Малый вывернутый обратноплосконосый икосоикосододекаэдр
25	(2 5/3 3/2) (µ=23)	(3.3.3.3.3)/2 gike U53	5/2.3.5/2.3 gid U54	5/2.5/2.5/2 gissid U52	3(5/2.4.3.4) sicdatrid Малый составной ромбоикосододекаэдр	10/3.3.10/3 quit gissid Большой звёздчатый усечённый додекаэдр	5(6/2.5/2.6/2) 2gike+sissid –	2(6/2.10/3.4) gird+20{6/2} Большой ромбододекаэдр	(3.3.3.5/2.3)/2 girsid U74
26	(5/3 5/3 3/2) (µ=26)	(5/2.3)⁵/3 gacid Большой составной икосододекаэдр	(5/2.3)⁵/3 gacid Большой составной икосододекаэдр	(5/2)⁶/2 2gissid –	5/2.10/3.3.10/3 gaddid Большой додекоикосододекаэдр	5/2.10/3.3.10/3 gaddid Большой додекоикосододекаэдр	2(6/2.5/2.6/2.5/2) 2gid –	2(6/2.10/3.10/3) 2quitgissid –	?
27	(2 5/3 5/4) (µ=27)	(5.5.5.5.5)/2 gad U35	5/2.5.5/2.5 did U36	5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 sissid U34	5/2.4.5.4 raded Ромбододекододекаэдр	10/3.5.10/3 quit sissid U58	3(10/4.5/2.10/4) 3gissid –	2(10/4.10/3.4) gird+12{10/4} Большой ромбододекаэдр	?
28	(2 3/2 5/4) (µ=29)	5.5.5 doe U23	3.5.3.5 id U24	3.3.3.3.3 ike U22	3.4.5.4 srid U27	2(6/2.5.6/2) 2ike+gad –	5(10/4.3.10/4) 2sissid+gike –	6(10/4.6/2.4/3) 2sidtid+rhom –	?
29	(5/3 3/2 5/4) (µ=32)	5/3.5.5/3.5.5/3.5 ditdid Битригональный додекаэдр	(3.5)⁵/3 cid Малый составной икосододекаэдр	(3.5/2)⁵/3 gacid Большой составной икосододекаэдр	3.10/3.5.10/3 gidditdid Большой битригональный додекоикосододекаэдр	3(5/2.6/2.5.6/2) sidtid+gidtid –	5(10/4.3.10/4.5/2) 3sissid+gike –	4(10/4.6/2.10/3) gid+geihid+gidhid –	?
30	(3/2 3/2 5/4) (µ=34)	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid Большой битигональный икосододекаэдр	(3.5.3.5.3.5)/2 gidtid Большой битигональный икосододекаэдр	(3)¹⁰/4 2gike –	5(3.6/2.5.6/2) 3ike+gad –	5(3.6/2.5.6/2) 3ike+gad –	2(10/4.3.10/4.3) 2gid –	10(10/4.6/2.6/2) 2sissid+4gike –	?
31	(3/2 5/4 5/4) (µ=38)	(3.5)⁵/3 cid Малый составной икосододекаэдр	(5.5.5.5.5.5)/2 2doe –	(3.5)⁵/3 cid Малый составной икосододекаэдр	2(5.6/2.5.6/2) 2id –	3(3.10/4.5/4.10/4) sidtid+ditdid –	3(3.10/4.5/4.10/4) sidtid+ditdid –	10(10/4.10/4.6/2) 4sissid+2gike –	5(3.3.3.5/4.3.5/4) 4ike+2gad –
32	(5/4 5/4 5/4) (µ=42)	(5)¹⁰/4 2gad –	(5)¹⁰/4 2gad –	(5)¹⁰/4 2gad –	2(5.10/4.5.10/4) 2did –	2(5.10/4.5.10/4) 2did –	2(5.10/4.5.10/4) 2did –	6(10/4.10/4.10/4) 2gissid –	3(3/2.5.3/2.5.3/2.5) 3cid –

Геми-формы

Эти многогранники (полумногогранники) получаются как двойное покрытие с помощью построения Витхоффа. Если фигура, полученная построением Витхоффа, составлена из двух идентичных компонент, операция «геми» берёт только одну компоненту.

3/2.4.3.4 thah U4 hemi(3 3/2 \| 2)	4/3.6.4.6 cho Кубогемиоктаэдр hemi(4 4/3 \| 3)	5/4.10.5.10 sidhid Малый додекогемидодекаэдр hemi(5 5/4 \| 5)	5/2.6.5/3.6 sidhei Малый додекогемиикосаэдр hemi(5/2 5/3 \| 3)	5/2.10/3.5/3.10/3 gidhid Большой додекогемидодекаэдр hemi(5/2 5/3 \| 5/3)
	3/2.6.3.6 oho Октагемиоктаэдр hemi(?)	3/2.10.3.10 seihid Малый икосогемидодекаэдр hemi(3 3/2 \| 5)	5.6.5/4.6 gidhei Большой додекогемиикосаэдр hemi(5 5/4 \| 3)	3.10/3.3/2.10/3 geihid Большой икосогемидодекаэдр hemi(3 3/2 \| 5/3)

Приведённые формы

Эти многогранники генерируются построением Витхоффа с лишними гранями. Если фигура генерируется с помощью построения Витхоффа как соединение двух или трёх неидентичных компонент, операция «приведения» удаляет лишние грани (которые следует указать) из фигуры, оставляя только одну компоненту.

Витхофф	Многогранник	Лишние грани	Витхофф	Многогранник	Лишние грани	Витхофф	Многогранник	Лишние грани
3 2 3/2 \|	4.6.4/3.6 cho Кубогемиоктаэдр	4{6/2}	4 2 3/2 \|	4.8.4/3.8/7 sroh Малый ромбогексаэдр	8{6/2}	2 3/2 4/3 \|	4.8/3.4/3.8/5 groh U21	8{6/2}
5 5/2 2 \|	4.10.4/3.10/9 sird Малый ромбододекаэдр	12{10/2}	5 3 3/2 \|	10.6.10/9.6/5 siddy Малый додекоикосаэдр	20{6/2}	3 5/2 2 \|	6.4.6/5.4/3 ri Ромбоикосаэдр	12{10/2}
5 5/2 3/2 \|	3/2.10.3.10 seihid Малый икосогемидодекаэдр	id + sidhid	5 5/2 3/2 \|	5/4.10.5.10 sidhid Малый додекогемидодекаэдр	id + seihid	5 3 5/4 \|	10.6.10/9.6/5 siddy Малый додекоикосаэдр	12{10/4}
3 5/2 5/3 \|	6.10/3.6/5.10/7 giddy Большой додекоикосаэдр	12{10/2}	5 2 3/2 \|	4.10/3.4/3.10/9 sird Малый ромбододекаэдр	20{6/2}	3 5/2 5/4 \|	5.6.5/4.6 gidhei Большой додекогемиикосаэдр	did + sidhei
3 5/2 5/4 \|	5/2.6.5/3.6 sidhei Малый додекогемиикосаэдр	did + gidhei	3 5/3 3/2 \|	6.10/3.6/5.10/7 giddy Большой додекоикосаэдр	20{6/2}	3 2 5/4 \|	6.4.6/5.4/3 ri Ромбоикосаэдр	12{10/4}
2 5/3 3/2 \|	4.10/3.4/3.10/7 gird Большой ромбододекаэдр	20{6/2}	5/3 3/2 5/4 \|	3.10/3.3/2.10/3 geihid \|Большой икосогемидодекаэдр	gid + gidhid	5/3 3/2 5/4 \|	5/2.10/3.5/3.10/3 gidhid Большой додекогемидодекаэдр	gid + geihid
2 5/3 5/4 \|	4.10/3.4/3.10/7 gird Большой ромбододекаэдр	12{10/4}

Тетрагемигексаэдр (thah, U4) является также приведённой формой {3/2}-купола (обратный треугольный купол, ratricu) по {6/2}.

Другие формы

Эти два однородных многогранника нельзя получить с помощью построения Витхоффа. Это множество многогранников принято называть «невитхоффовыми». Вместо треугольной фундаментальной области витхоффовых однородных многогранников эти два имеют четырёхугольную фундаментальную область.

Многогранник Скиллинга не дан в списке Маедера, поскольку он принадлежит к экзотическим однородным многогранникам, у которых рёбра полностью совпадают. Это верно также для некоторых вырожденных многогранников, перечисленных выше, таких как малый составной икосододекаэдр. Такая интерпретация совпадающих рёбер позволяет этим фигурам оставаться биметорными (греч.: bi + methoric = два + ребро), то есть имеющими две грани на ребро. Без удвоения рёбер эти тела превратились бы в тетра-, гекса-, окта-, дека- или додекаметорные фигуры, которые обычно исключаются из списка однородных многогранников. Фигура Скиллинга является тетраметорной ^[4].

(p q r s)	\| p q r s (4.p.4.q.4.r.4.s)/2	\| (p) q (r) s (p³.4.q.4.r³.4.s.4)/2
(3/2 5/3 3 5/2)	(4.3/2.4.5/3.4.3.4.5/2)/2 gidrid Большой биромбоикосододекаэдр	(3/2³.4.5/3.4.3³.4.5/2.4)/2 gidisdrid Скиллинга

Roman E. Maeder. Computer Science with Mathematica. — Cambridge University Press, 2000. — ISBN 0-521-63172-6,0-521-66395-4.
Дьяконов В. П. Mathematica 5.1/5.2/6. Программирование и математические вычисления. — М.: ДМК-Пресс, 2008. — ISBN 5-94074-405-2.
H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — [[Служебная:Источники книг/{{{isbn}}}|ISBN {{{isbn}}}]].

Richard Klitzing: Polyhedra by

point-group symmetry
complexity
Schwarz triangles part 1, part 2

Zvi Har'El:

Uniform Solution for Uniform Polyhedra

[1]

[2]

[3]

[4]

3/2.4.3.4 thah U4 hemi(3 3/2 \| 2)	4/3.6.4.6 cho Кубогемиоктаэдр hemi(4 4/3 \| 3)	5/4.10.5.10 sidhid Малый додекогемидодекаэдр hemi(5 5/4 \| 5)	5/2.6.5/3.6 sidhei Малый додекогемиикосаэдр hemi(5/2 5/3 \| 3)	5/2.10/3.5/3.10/3 gidhid Большой додекогемидодекаэдр hemi(5/2 5/3 \| 5/3)
	3/2.6.3.6 oho Октагемиоктаэдр hemi(?)	3/2.10.3.10 seihid Малый икосогемидодекаэдр hemi(3 3/2 \| 5)	5.6.5/4.6 gidhei Большой додекогемиикосаэдр hemi(5 5/4 \| 3)	3.10/3.3/2.10/3 geihid Большой икосогемидодекаэдр hemi(3 3/2 \| 5/3)

Список однородных многогранников по порождающим треугольникам Шварца

Треугольники Мёбиуса и Шварца

Сводная таблица

Диэдральные (Призматические)

Тетраэдральные

Октаэдральные

Икосаэдральные

Невитхоффовы

Геми-формы

Приведённые формы

Другие формы

Примечания

Литература

Ссылки