Середина отрезка

Это задача на бисекцию — разделить данный отрезок пополам, таким образом найдя его середину.

Решение: из концов отрезка ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ (рис. 1) одним и тем же произвольным (но бо́льшим ${\displaystyle {\frac {1}{2}}AB}$) раствором циркуля описывают две дуги. Точки их пересечения ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ соединяют прямой линией по линейке. Точка пересечения ${\displaystyle O}$ прямых ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ есть середина отрезка ${\displaystyle AB}$^[1].

Рис. 1

С использованием теоремы Мора — Маскерони возможно также нахождение середины отрезка с помощью одного только циркуля: на первом шаге для отрезка ${\displaystyle (AB)}$ строится точка ${\displaystyle C}$, симметричная точке ${\displaystyle A}$ относительно точки ${\displaystyle B}$; на втором шаге строится инверсия точки ${\displaystyle C}$ относительно окружности радиуса ${\displaystyle |AB|}$ с центром в точке ${\displaystyle A}$; полученная точка является серединой отрезка ${\displaystyle (AB)}$ (рис. 2)^[2].

Рис. 2

Если ${\displaystyle M}$ является серединой хорды ${\displaystyle PQ}$ и через середину проходят две другие хорды ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$, то ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ пересекают хорду ${\displaystyle PQ}$ в точках ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ соответственно таким образом, что ${\displaystyle M}$ является серединой отрезка ${\displaystyle XY}$ (рис. 3).

Рис. 3

Можно найти середину отрезка только с помощью линейки при условии, что на плоскости имеются дополнительные линии (Теорема Штейнера — Понселе)^[3].

Пример. Дана пара параллельных прямых ${\displaystyle a\parallel b}$, на одной из которых лежит отрезок: ${\displaystyle AD\subset a}$. Разделить данный отрезок пополам, используя одну линейку.

Решение. Выберем произвольно точку ${\displaystyle B\in b}$ и на продолжении прямой ${\displaystyle AB}$ за точку ${\displaystyle B}$ отметим точку ${\displaystyle E}$. В пересечении прямых ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle DE}$ получим точку ${\displaystyle C}$, а в пересечении прямых ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle DB}$ — точку ${\displaystyle H}$. Точки пересечения прямой ${\displaystyle HE}$ с прямыми ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ обозначим через ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle F}$ соответственно. Четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ является трапецией, отсюда точки ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle F}$ — середины её оснований, отрезков ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ (согласно основному свойству трапеции: середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой) (рис. 4).

Рис. 4

Если на прямой даны две точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ своими координатами ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$, то есть ${\displaystyle A(x_{1})}$, ${\displaystyle B(x_{2})}$, то всякая третья точка ${\displaystyle C(x)}$ делит отрезок ${\displaystyle AB}$ в некотором определённом отношении ${\displaystyle \lambda ={\frac {AC}{CB}}}$. Для вычисления ${\displaystyle \lambda }$ используют формулу: ${\displaystyle \lambda ={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x}}}$.

В случае, когда точка ${\displaystyle C(x)}$ делит отрезок ${\displaystyle AB}$ пополам, являясь его серединой, получают: ${\displaystyle AC=CB}$ и ${\displaystyle \lambda =1}$, откуда координата точки ${\displaystyle C}$ равна ${\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$, то есть координата середины отрезка равна полусумме координат его концов^[4].

Если даны две точки ${\displaystyle A(x_{1},y_{1})}$ и ${\displaystyle B(x_{2},y_{2})}$, то координаты всякой третьей точки ${\displaystyle C}$, лежащей с ними на одной прямой, определяются формулами:

${\displaystyle x={\frac {x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda }}}$ и ${\displaystyle y={\frac {y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda }}}$.

В случае, когда точка ${\displaystyle C(x,y)}$ делит отрезок ${\displaystyle AB}$ пополам, являясь его серединой, то ${\displaystyle \lambda =1}$, откуда координаты точки ${\displaystyle C}$ равны:

${\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$, ${\displaystyle y={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}}$, то есть координаты середины отрезка равны полусумме одноимённых координат его концов^[5].

Если даны две точки ${\displaystyle A(x_{1},y_{1},z_{1})}$ и ${\displaystyle B(x_{2},y_{2},z_{2})}$, то координаты третьей точки ${\displaystyle C}$, являющейся серединой отрезка ${\displaystyle AB}$, определяются формулами:

${\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$, ${\displaystyle y={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}}$, ${\displaystyle z={\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}}$, то есть координаты середины отрезка равны полусумме одноимённых координат его концов^[6].

Если даны две точки ${\displaystyle A(r_{1})}$ и ${\displaystyle B(r_{2})}$, то радиус-вектор ${\displaystyle r}$ точки ${\displaystyle C}$, являющейся серединой вектора ${\displaystyle {\vec {AB}}}$, определяется формулой:

${\displaystyle r={\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}}$, то есть радиус-вектор середины вектора ${\displaystyle {\vec {AB}}}$ равен полусумме радиус-векторов его концов^[7].

Серединный перпендикуляр, или срединный перпендикуляр, — прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину^[8]. Построение середины отрезка является одновременно построением серединного перпендикулярa (рис. 5).

Рис. 5

• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. У остроугольного треугольника эта точка лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
• Описанная около многоугольника окружность существует в том и только в том случае, если серединные перпендикуляры к сторонам многоугольника пересекаются в одной точке. Эта точка есть центр описанной окружности.
• Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему^[9].

• Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны. Средняя линия отсекает от треугольника треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия ${\displaystyle 1/2}$.
• Медиана треугольника есть геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков прямых, заключённых внутри треугольника и параллельных той его стороне, к которой проведена медиана. Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом.
• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы^[10].

• Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами некоторого параллелограмма (рис. 6 — точки ${\displaystyle HJGI}$).
• Отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, называются его средними линиями. Точка пересечения средних линий четырёхугольника называется центроидом этого четырёхугольника. Средние линии в точке своего пересечения делятся пополам (рис. 6 — ${\displaystyle HG\cup JI}$ в т. ${\displaystyle K}$: ${\displaystyle HK=KG}$; ${\displaystyle JK=KI}$).
• Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам (рис. 6 — ${\displaystyle HG\cup JI\cup EF}$ в т. ${\displaystyle K}$: ${\displaystyle HK=KG}$; ${\displaystyle JK=KI}$; ${\displaystyle EK=KF}$).
• Прямая Ньютона — линия, соединяющая середины двух диагоналей выпуклого четырёхугольника, не являющегося параллелограммом (рис. 6 — ${\displaystyle EF}$). Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, пересекаются в точке, лежащей на прямой Ньютона (рис. 6 — ${\displaystyle K\in EF}$)^[11].

Рис. 6

• Центр девяти точек треугольника — середина отрезка, соединяющего центр описанной окружности с ортоцентром данного треугольника. Вершины серединного треугольника данного треугольника лежат в серединах сторон треугольника.

• Середина любого диаметра окружности является центром окружности. Перпендикуляр к любой хорде, проходящий через её середину, проходит через центр окружности.
• Правильный многоугольник имеет вписанную окружность, которая касается всех сторон многоугольника в серединах его сторон.

Направленные отрезки часто называют связанными или закреплёнными векторами. Говорят, что связанные векторы ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ равны, если середины отрезков ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$ совпадают. В случае, когда точки ${\displaystyle A,B,C,D}$ не лежат на одной прямой, это равносильно тому, что четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ — параллелограмм^[12].