В раннем детстве освоил скрипку, играл в клезмерском ансамбле, в семь лет стал работать музыкантом в местном кинотеатре. В начале 1920-х годов служил трубачом в РККА, в бригаде Г. Котовского, с 1922 — участник духового оркестра Высшей военной школы в Киеве.
По окончании обучения в Киеве был дирижёром первого симфонического оркестра на Радио в Харькове (1932—1934), работал в Куйбышеве (1934—1935), был инициатором создания, художественным руководителем и главным дирижёром симфонического оркестра в Сталинской филармонии (ныне Донецкая филармония) (1935—1937).
В 1966 году по приглашению Н. Г. Жиганова переехал в Казань, став главным дирижёром и художественным руководителем только что созданного Государственного симфонического оркестра Татарской АССРТатарской филармонии, где работал до конца жизни. За годы работы сформировал и воспитал коллектив, исполнил значительную часть мирового симфонического репертуара, часто гастролировал с оркестром.
Охотно прибегал к ретушам для достижения необходимого звукового результата. Особое значение дирижёр придавал тембровому единству групп в совместном звучании, что формировало характерный «органный» тон его оркестра.
Среди профессионалов восхищение вызывали феноменальная память дирижёра, доскональное знание и практические навыки игры на всех инструментах симфонического оркестра, исключительно пластичные выразительные руки и волевое воздействие на коллектив.
Особой чертой исполнения музыки Рахлиным являлась удивительная доступность: сложный замысел композитора воплощался таким образом, что становился предельно ясным для слушателя. Самой привлекательной чертой творческого почерка Натана Григорьевича было вовлечение оркестрантов и слушателей в орбиту переживаемого им самим. В момент исполнения он буквально гипнотизировал, парализовал чужую волю, делал каждого артиста послушным инструментом своего художественного видения. После каждого концерта мы выходили измождёнными, но безмерно счастливыми.
Рахлин — дирижёр планетарного масштаба. Мне кажется, он жил не в своё время. Он был дирижёром романтического типа, и ему надо было бы жить лет сто назад. Современный оркестр играет очень чисто, быстро, правильно и даже несколько суховато. Сейчас это нравится, но это было не его…
В Киеве, на фасаде дома на улице Ивана Франко, 25, где в 1946—1979 годах жил Н. Г. Рахлин, установлена памятная доска.
В Советском районе Казани улица названа в честь дирижёра.
В Мисхоре (Большая Ялта) установлен памятник напротив входа в Мисхорский парк (санаторий «Мисхор»). Памятник выполнен из камня с изображением профиля и рукой с дирижёрской палочкой.
↑Холопов Ю. Н.Семён Семёнович Богатырёв. Биографический очерк // С. С. Богатырёв. Статьи. Исследования. Воспоминания. — М.: Советский композитор, 1972. — С. 13. — 298 с. — 2760 экз.