Несобственный интеграл

Несобственный интеграл
Несобственный интеграл
Область использования	математика

Несобственный интеграл
Несобственный интеграл
Область использования	математика

Несо́бственный интегра́л — обобщение определённого интеграла на случаи, когда обычный интеграл Римана напрямую не определён^[1]. Это понятие математического анализа, используемое в теории вероятностей, математической физике, теории дифференциальных уравнений и при решении прикладных задач. Такая необходимость возникает в двух основных случаях:

промежуток интегрирования бесконечен;
функция на промежутке становится неограниченной или имеет особую точку.

Идея определения состоит в том, что сначала вычисляется обычный интеграл на «безопасной» части промежутка, а затем переходят к пределу^[2]. Если предел существует и конечен, говорят, что несобственный интеграл сходится. Если предела нет или он бесконечен, интеграл расходится.

Пример 1 (бесконечный промежуток). Площадь под гиперболой $y=1/x^{2}$ на луче $[1,\infty )$ конечна, несмотря на бесконечную длину основания:

\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\left[-{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{b}=\lim _{b\to \infty }\left(1-{\frac {1}{b}}\right)=1.

Предел существует, значит, интеграл сходится.

Пример 2 (особая точка). Площадь под кривой $y=1/{\sqrt {x}}$ на отрезке $(0,1]$ также конечна, хотя функция неограниченна при $x\to 0+$ :

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{\varepsilon }^{1}x^{-1/2}\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0+}{\bigl (}2-2{\sqrt {\varepsilon }}{\bigr )}=2.

Интеграл сходится к значению $2$ .

Обычный определённый интеграл $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ рассматривается на конечном отрезке, где функция ограничена^[3]. Если же верхний предел равен $\infty$ , нижний предел равен $-\infty$ , или сама функция стремится к бесконечности в одной из точек, прямое определение уже не работает.

В таких случаях проблемное место заменяют пределом:

бесконечный промежуток «обрезают» на конечной точке;
точку разрыва или неограниченности не включают напрямую, а подходят к ней с нужной стороны.

Важно: в записи вида $\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$ символ $\infty$ не является числом. Его нельзя просто подставить в первообразную. Сначала вычисляют интеграл на конечном промежутке, потом берут предел^[4].

Традиционно выделяют^[2]^[5]:

несобственный интеграл первого рода — интеграл по бесконечному промежутку;
несобственный интеграл второго рода — интеграл от функции, неограниченной в точке промежутка или на его границе.

Ситуация	Определение
Бесконечный промежуток $[a,\infty )$	$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim \limits _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx$
Бесконечный промежуток $(-\infty ,b]$	$\int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx$
Вся числовая ось	$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{\infty }f(x)\,dx$ , если оба интеграла сходятся
Неограниченность в правом конце $b$	$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{t\to b-}\int _{a}^{t}f(x)\,dx$
Неограниченность в левом конце $a$	$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{t\to a+}\int _{t}^{b}f(x)\,dx$
Особая точка $c\in (a,b)$	$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx$ , если оба интеграла сходятся

Если функция задана на полуоси $[a,\infty )$ , то несобственный интеграл определяется так^[1]:

\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Если этот предел существует и конечен, интеграл сходится.

Аналогично :

\int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Для интеграла по всей оси запись

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx

обычно понимают не как один симметричный предел, а как сумму двух интегралов^[2]:

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{\infty }f(x)\,dx,

где $c$ — любая фиксированная точка, и оба однонаправленных интеграла должны сходиться.

Пусть функция определена на $[a,b)$ , но при $x\to b-$ становится неограниченной. Тогда пишут^[3]:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{t\to b-}\int _{a}^{t}f(x)\,dx.

Аналогично, если проблема возникает в точке $a$ :

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{t\to a+}\int _{t}^{b}f(x)\,dx.

Если особая точка находится внутри промежутка, например в точке $c\in (a,b)$ , то интеграл определяют через разбиение:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx,

где

\int _{a}^{c}f(x)\,dx=\lim _{t\to c-}\int _{a}^{t}f(x)\,dx,

\int _{c}^{b}f(x)\,dx=\lim _{t\to c+}\int _{t}^{b}f(x)\,dx.

Важно: если хотя бы один из этих двух интегралов расходится, то весь интеграл считается расходящимся^[1].

Если на промежутке несколько проблемных точек, его разбивают на части так, чтобы на каждой части была только одна проблема или не было ни одной^[2]. После этого проверяют сходимость каждой части отдельно. Например, если у функции особые точки в $c_{1}$ и $c_{2}$ , где $a<c_{1}<c_{2}<b$ , то промежуток разбивают так:

[a,c_{1}),\quad (c_{1},c_{2}),\quad (c_{2},b].

Общий интеграл существует только тогда, когда сходятся все соответствующие несобственные интегралы на этих частях.

В обычном интегральном исчислении формула Ньютона — Лейбница гласит^[4]:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a),

где $F$ — любая первообразная функции $f$ .

Для несобственного интеграла эта формула переносится через предел.

Бесконечный верхний предел

Если $F$ — первообразная $f$ на $[a,\infty )$ , то:

\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }{\bigl (}F(b)-F(a){\bigr )}=\lim _{b\to \infty }F(b)-F(a).

Принято писать это в сокращённой форме:

\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx={\Bigl [}F(x){\Bigr ]}_{a}^{\infty },

где символ $\infty$ в верхней строчке означает именно предел, а не подстановку числа^[1].

Бесконечный нижний предел

Аналогично,

\int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx=F(b)-\lim _{a\to -\infty }F(a)={\Bigl [}F(x){\Bigr ]}_{-\infty }^{b}.

Особенность в правом конце

Пусть $F$ — первообразная $f$ на $[a,b)$ , и функция $f$ неограниченна при $x\to b-$ .

Тогда

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{t\to b-}F(t)-F(a)={\Bigl [}F(x){\Bigr ]}_{a}^{b-}.

Если предел $\lim _{t\to b-}F(t)$ существует и конечен, интеграл сходится.

Особенность в левом конце

Пусть $F$ — первообразная $f$ на $(a,b]$ .

Тогда

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-\lim _{t\to a+}F(t)={\Bigl [}F(x){\Bigr ]}_{a+}^{b}.

Важное замечание

Формула Ньютона — Лейбница остаётся главным инструментом вычисления несобственных интегралов^[6].

Алгоритм вычисления:

Найти первообразную $F(x)$ обычным способом.
Подставить пределы с учётом перехода к пределу там, где есть бесконечность или особая точка.
Вычислить предел.

Пример

Вычислим $\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx$ . Первообразная: $F(x)=-e^{-x}$ .

\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx={\Bigl [}-e^{-x}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }=\lim _{b\to \infty }(-e^{-b})-(-e^{0})=0+1=1.

Интеграл сходится и равен $1$ .

Пример с особенностью

Вычислим $\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x}}}$ . Особенность в точке $x=1$ . Первообразная: $F(x)=-2{\sqrt {1-x}}$ .

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x}}}={\Bigl [}-2{\sqrt {1-x}}{\Bigr ]}_{0}^{1-}=\lim _{t\to 1-}(-2{\sqrt {1-t}})-(-2{\sqrt {1}})=0+2=2.

Интеграл сходится и равен $2$ .

Несобственные интегралы первого и второго рода выглядят внешне по-разному, однако по существу это одно и то же понятие^[2]. Любой интеграл одного рода можно свести к интегралу другого рода с помощью подходящей замены переменной.

Сведение второго рода к первому

Пусть дан интеграл второго рода с особенностью в точке $b$ :

\int _{a}^{b}f(x)\,dx,\qquad f(x)\to \infty {\text{ при }}x\to b-.

Сделаем замену

x=b-{\frac {1}{t}},\qquad t={\frac {1}{b-x}}.

При $x\to b-$ переменная $t\to +\infty$ , при $x=a$ переменная $t={\frac {1}{b-a}}$ .

После замены интеграл принимает вид:

\int _{1/(b-a)}^{\infty }f\!\left(b-{\frac {1}{t}}\right){\frac {dt}{t^{2}}},

то есть становится интегралом первого рода на бесконечном промежутке.

Сведение первого рода ко второму

Пусть дан интеграл первого рода:

\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx.

Сделаем замену:

x=a+{\frac {1}{t}},\qquad t={\frac {1}{x-a}}.

При $x\to \infty$ переменная $t\to 0+$ , при $x=a+1$ переменная $t=1$ .

После замены:

\int _{0}^{1}f\!\left(a+{\frac {1}{t}}\right){\frac {dt}{t^{2}}},

что является интегралом второго рода с особенностью в нуле.

Деление на два рода носит условный характер и отражает лишь внешний вид записи^[3]. С теоретической точки зрения оба рода описываются одним и тем же понятием — пределом обычного интеграла.

На практике это означает, что:

все признаки сходимости, доказанные для одного рода, имеют аналоги для другого;
при вычислениях замена переменной может превратить неудобный интеграл одного рода в более простой интеграл другого рода.

Пример 1. Интеграл типа p {\displaystyle p} на бесконечном промежутке

Рассмотрим интеграл

\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}},\qquad p\in \mathbb {R} .

Случай p ≠ 1 {\displaystyle p\neq 1}

Первообразная функции $x^{-p}$ равна ${\dfrac {x^{1-p}}{1-p}}$ , поэтому:

\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{p}}}=\left[{\frac {x^{1-p}}{1-p}}\right]_{1}^{b}={\frac {b^{1-p}-1}{1-p}}.

Перейдём к пределу при $b\to \infty$ :

\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}=\lim _{b\to \infty }{\frac {b^{1-p}-1}{1-p}}.

Если $p>1$ , то $1-p<0$ , значит $b^{1-p}\to 0$ при $b\to \infty$ .

 Интеграл сходится:

\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}={\frac {0-1}{1-p}}={\frac {1}{p-1}}.

Если $p<1$ , то $1-p>0$ , значит $b^{1-p}\to +\infty$ при $b\to \infty$ .

 Интеграл расходится.

Случай p = 1 {\displaystyle p=1}

При $p=1$ первообразная иная — $\ln x$ :

\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}={\bigl [}\ln x{\bigr ]}_{1}^{b}=\ln b.

При $b\to \infty$ получаем $\ln b\to +\infty$ , поэтому интеграл расходится.

Итог

Условие	Поведение интеграла	Значение
$p>1$	сходится	${\dfrac {1}{p-1}}$
$p=1$	расходится	—
$p<1$	расходится	—

Пример 2. Особенность в нуле

Рассмотрим

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}.

По определению,

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{t\to 0+}\int _{t}^{1}x^{-1/2}\,dx=\lim _{t\to 0+}\left[2{\sqrt {x}}\right]_{t}^{1}=\lim _{t\to 0+}(2-2{\sqrt {t}})=2.

Интеграл сходится.

Пример 3. Логарифмическая расходимость

Рассмотрим

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x}}.

Тогда

\int _{t}^{1}{\frac {dx}{x}}=-\ln t.

При $t\to 0+$ получаем $-\ln t\to \infty$ , поэтому интеграл расходится.

Несобственные интегралы применяются для решения широкого круга задач в математике, физике, экономике и теории вероятностей, когда искомая величина определяется через интеграл с бесконечными пределами или от неограниченной функции. Необходимость в несобственном интеграле возникает всегда, когда процесс или объект не ограничен по размеру, времени, энергии или когда плотность исследуемой величины неограниченно возрастает в отдельных точках^[7].

↑ ¹ ² ³ ⁴ Зорич, В. А. Математический анализ. — 10-е изд. — М. : МЦНМО, 2019. — Vol. I. — P. 363. — ISBN 978-5-4439-4029-8.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М. : Физматлит, 2003. — Vol. II. — P. 597—659. — ISBN 5-9221-0157-9.
↑ ¹ ² ³ Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М. : Дрофа, 2003. — Vol. I. — P. 644—684. — ISBN 5-7107-5004-2.
↑ ¹ ² Ильин, В. А. Основы математического анализа / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — 4-е изд. — М. : Физматлит, 2002. — Vol. II. — P. 98—118. — ISBN 5-9221-0131-5.
↑ Кулешов, А. А. Анализ I. Краткий курс. — Москва: Издательство Московского университета, 2024. — С. 241-242. — ISBN 78-5-19-011980-0.
↑ Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М. : АСТ, 2005. — P. 199—207. — ISBN 978-5-17-010062-8.
↑ Зорич, В. А. Математический анализ. — 10-е изд. — М. : МЦНМО, 2019. — Vol. I–II. — ISBN 978-5-4439-4029-8.

Бутузов, В. Ф., Бутузова, М. В. Несобственные интегралы: учеб. пособие. — М.: Физ. фак. МГУ, 2016. — 40 с.
Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М. : АСТ, 2005. — ISBN 978-5-17-010062-8.
Зорич, В. А. Математический анализ. — 10-е изд. — М. : МЦНМО, 2019. — Vol. I. — ISBN 978-5-4439-4029-8.
Ильин, В. А. Основы математического анализа / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — 4-е изд. — М. : Физматлит, 2002. — Vol. II. — ISBN 5-9221-0131-5.
Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М. : Дрофа, 2003. — Vol. I. — ISBN 5-7107-5004-2.
Кулешов, А. А. Анализ I. Краткий курс. — Москва: Издательство Московского университета, 2024. — 407 с. — ISBN 78-5-19-011980-0.
Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М. : Физматлит, 2003. — Vol. II. — ISBN 5-9221-0157-9.

[zorich-1] ¹ ² ³ ⁴ Зорич, В. А. Математический анализ. — 10-е изд. — М. : МЦНМО, 2019. — Vol. I. — P. 363. — ISBN 978-5-4439-4029-8.

[fichtenholz-2] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М. : Физматлит, 2003. — Vol. II. — P. 597—659. — ISBN 5-9221-0157-9.

[kudryavtsev-3] ¹ ² ³ Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М. : Дрофа, 2003. — Vol. I. — P. 644—684. — ISBN 5-7107-5004-2.

[ilyin-4] ¹ ² Ильин, В. А. Основы математического анализа / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — 4-е изд. — М. : Физматлит, 2002. — Vol. II. — P. 98—118. — ISBN 5-9221-0131-5.

[5] Кулешов, А. А. Анализ I. Краткий курс. — Москва: Издательство Московского университета, 2024. — С. 241-242. — ISBN 78-5-19-011980-0.

[demidovich-6] Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М. : АСТ, 2005. — P. 199—207. — ISBN 978-5-17-010062-8.

[zorich2-7] Зорич, В. А. Математический анализ. — 10-е изд. — М. : МЦНМО, 2019. — Vol. I–II. — ISBN 978-5-4439-4029-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Несобственный интеграл

История

Свойства несобственного интеграла

Сходимость несобственного интеграла

Идея определения

Основные случаи