Список пределов

Пусть ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}$ и ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}$. Тогда:

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}}$, если ${\displaystyle L_{2}\neq 0}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{a}=L_{1}^{a}}$, если число в правой части и все значения левой функции в окрестности т. x=c существуют.

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[C\cdot f(x)]=C\cdot L_{1}}$, где ${\displaystyle C}$ — постоянная величина^[3].

Предел сложной функции (композиции функций): если ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=b}$ и ${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)=L}$, то ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(f(x))=L}$ (при условии, что ${\displaystyle g(y)}$ непрерывна в точке ${\displaystyle b}$, либо ${\displaystyle f(x)\neq b}$ в проколотой окрестности точки ${\displaystyle c}$)^[4].

Теорема о зажатой функции («теорема о двух милиционерах»): если ${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$ в проколотой окрестности точки ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L}$, то ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$.

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}$ (определение производной)

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}$

При вычислении пределов функций могут возникать ситуации, когда прямая подстановка предельного значения приводит к выражениям, не имеющим определённого значения — неопределённостям^[5]. К основным видам неопределённостей относятся семь выражений: ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$, ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$, ${\displaystyle 0\cdot \infty }$, ${\displaystyle \infty -\infty }$, ${\displaystyle 1^{\infty }}$, ${\displaystyle 0^{0}}$ и ${\displaystyle \infty ^{0}}$^[5]. Для их раскрытия применяются различные методы:

• Алгебраические преобразования: разложение на множители, деление на старшую степень переменной и домножение на сопряжённое выражение^[5];
• Одним из ключевых методов является:

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$, если ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$, или ${\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=+\infty }$^[5] (Правило Лопиталя).

Для упрощения раскрытия неопределённостей при вычислении пределов часто применяется метод замены бесконечно малых функций на эквивалентные^[6]. Две функции называются эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице.

Таблица основных эквивалентных бесконечно малых функций при ${\displaystyle x\to 0}$^[7]:

Функция	Эквивалентная функция
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {tg} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \arcsin x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \operatorname {arctg} x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle 1-\cos x}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}}$
${\displaystyle e^{x}-1}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle a^{x}-1}$	${\displaystyle x\ln a}$ (при ${\displaystyle a>0}$)
${\displaystyle \ln(1+x)}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle \log _{a}(1+x)}$	${\displaystyle {\frac {x}{\ln a}}}$
${\displaystyle (1+x)^{m}-1}$	${\displaystyle mx}$

Данные соотношения также справедливы, если вместо ${\displaystyle x}$ используется любая функция ${\displaystyle \alpha (x)}$, которая сама является бесконечно малой при заданном стремлении переменной (например, ${\displaystyle \alpha (x)\to 0}$)^[7].

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$ (константа Непера) — Второй замечательный предел

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }$ (пи), а если заменить самый внутренний радикал ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ на ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, то предел получится равным ${\displaystyle {2\pi \over 3}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\gamma }$ (постоянная Эйлера — Маскерони)

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$ (формула Виета)^[8]

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)}$ (формула Валлиса)^[8]

${\displaystyle \lim _{x\to c}P(x)=P(c)}$, где ${\displaystyle P(x)}$ — многочлен.

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}=-\infty }$, если r нечётно, и ${\displaystyle +\infty }$, если r чётно.

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P(c)}{Q(c)}}}$, где ${\displaystyle P(x)}$ и ${\displaystyle Q(x)}$ — многочлены, при условии ${\displaystyle Q(c)\neq 0}$. Если ${\displaystyle Q(c)=0}$ и ${\displaystyle P(c)\neq 0}$, предел равен бесконечности или не существует. При ${\displaystyle Q(c)=0}$ и ${\displaystyle P(c)=0}$ возникает неопределённость вида ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$, для раскрытия которой многочлены раскладываются на множители^[9].

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\sqrt[{n}]{f(x)}}={\sqrt[{n}]{\lim _{x\to a}f(x)}}}$ при условии, что предел подкоренного выражения существует (и неотрицателен, если ${\displaystyle n}$ — чётное число)^[10].

При ${\displaystyle a>1:}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}=+\infty }$

Для натурального логарифма:

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\ln x=+\infty }$

Предел степенно-показательной функции:

${\displaystyle \lim f(x)^{g(x)}=e^{\lim(g(x)\ln f(x))}}$^[11]

Формула перехода к новому основанию логарифма:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}$ (в частности, к натуральному логарифму: ${\displaystyle \log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}}$)^[12]

${\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ — Первый замечательный предел

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} x}{x}}=1}$^[13]

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin x}{x}}=1}$^[14]

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} x}{x}}=1}$^[14]

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to n\pm 0}\operatorname {tg} \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty }$, если n — целое число.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a/x=0}$, при любом вещественном a.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}$ и не существует при ${\displaystyle a=0}$.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&-1<a<1\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/a^{x}=0}$ при любом ${\displaystyle a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\end{cases}}}$ и не существует, если ${\displaystyle a<0}$.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty }$ при любом ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }$

Сравнение скоростей роста функций:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{b}}{a^{x}}}=0}$ при ${\displaystyle a>1}$ и любом действительном ${\displaystyle b}$^[15]

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln x}{x^{a}}}=0}$ при ${\displaystyle a>0}$^[15]