Теорема о двух милиционерах

Если функция ${\displaystyle y=f(x)}$ такая, что ${\displaystyle \varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)}$ для всех ${\displaystyle x}$ в некоторой окрестности точки ${\displaystyle a}$, причём функции ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle \psi (x)}$ имеют одинаковый предел при ${\displaystyle x\to a}$, то существует предел функции ${\displaystyle y=f(x)}$ при ${\displaystyle x\to a}$, равный этому же значению, то есть

${\displaystyle \lim _{x\to a}\varphi (x)=\lim _{x\to a}\psi (x)=A\Rightarrow \lim _{x\to a}f(x)=A.}$

Если последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ такая, что ${\displaystyle b_{n}\leqslant a_{n}\leqslant c_{n}}$ для всех ${\displaystyle n}$, причём последовательности ${\displaystyle b_{n}}$ и ${\displaystyle c_{n}}$ имеют одинаковый предел при ${\displaystyle n\to \infty }$, то существует предел последовательности ${\displaystyle a_{n}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$, равный этому же значению, то есть

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=A\Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=A.}$