Положительный оператор (гильбертово пространство)

Для ограниченных линейных операторов выполняются следующие свойства.

• Если оператор ${\displaystyle A\geq 0}$ и вещественное число ${\displaystyle \alpha \geq 0}$, то ${\displaystyle \alpha A\geq 0}$.
• Если ${\displaystyle A\geq 0}$ и обратный оператор ${\displaystyle A^{-1}}$ существует, то ${\displaystyle A^{-1}\geq 0}$.
• ${\displaystyle A^{*}A\geq 0,\,AA^{*}\geq 0}$ для любого линейного оператора ${\displaystyle A}$. В частности, ${\displaystyle A^{2}\geq 0}$ для любого самосопряжённого оператора ${\displaystyle A}$. Следовательно, примером положительного оператора может служить любой оператор проектирования^[2].
• Произведение двух перестановочных положительных операторов также положительный оператор^[5].
• Для положительного оператора ${\displaystyle A}$ и любых элементов ${\displaystyle x,y}$ гильбертова пространства выполняется обобщённое неравенство Шварца:

${\displaystyle |(Ax,y)|^{2}\leq (Ax,x)(Ay,y)}$^[6].

У каждого ограниченного положительного оператора ${\displaystyle A}$ существует единственный положительный квадратный корень, то есть такой оператор ${\displaystyle B}$, что ${\displaystyle B^{2}=A}$. Если оператор ${\displaystyle A}$ обратим, то ${\displaystyle B}$ тоже обратим. Квадратный корень ${\displaystyle B}$ перестановочен с любым оператором, перестановочным с ${\displaystyle A}$^[7][8].

Любой ограниченный линейный оператор ${\displaystyle T}$ в гильбертовом пространстве обладает разложением ${\displaystyle T=UP}$, где ${\displaystyle P}$ — положительный оператор, ${\displaystyle U}$ — частичная изометрия. Если ${\displaystyle T}$ — нормальный оператор, то оператор ${\displaystyle U}$ в полярном разложении унитарный.

На множестве симметричных операторов вводится частичное отношение порядка: ${\displaystyle A\geq B}$ или ${\displaystyle B\leq A}$, если оператор ${\displaystyle A-B}$ — положительный, иначе говоря, ${\displaystyle (Ax,x)\geq (Bx,x)}$ для любого ${\displaystyle x}$ из гильбертова пространства. Данное отношение порядка обладает следующими свойствами.

• Если ${\displaystyle A\geq B}$ и ${\displaystyle C\geq D}$, то ${\displaystyle A+C\geq B+D}$.
• Если ${\displaystyle A\geq B}$ и ${\displaystyle B\geq C}$, то ${\displaystyle A\geq C}$.
• Если ${\displaystyle A\geq B}$ и ${\displaystyle c>0}$, то ${\displaystyle cA\geq cB}$.
• Любая монотонная ограниченная последовательность симметричных операторов сходится к некоторому симметричному оператору^[2][6].

Симметричный оператор ${\displaystyle S}$ называется полуограниченным снизу, если существует действительное число ${\displaystyle c}$ такое, что

${\displaystyle (Sx,x)\geq c(x,x)}$

для любого ${\displaystyle x}$ из области определения оператора ${\displaystyle S}$; наибольшее из всех значений ${\displaystyle c}$, для которых выполняется это неравенство, называется нижней гранью оператора ${\displaystyle S}$. Аналогично определяется оператор, полуограниченный сверху, и его верхняя грань^[9].

Положительный оператор является частным случаем полуограниченного снизу оператора. С другой стороны, любой полуограниченный оператор может быть выражен через положительный оператор ${\displaystyle P}$ посредством одной из следующих формул:

${\displaystyle S=P+cI,\quad S=-P+cI,}$

где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор^[10].

Расширение по Фридрихсу. Всякий полуограниченный симметричный оператор ${\displaystyle S}$ (в частности, положительный оператор) может быть расширен до некоторого полуограниченного самосопряжённого оператора ${\displaystyle A}$, причем оператор ${\displaystyle A}$ будет иметь ту же (верхнюю или нижнюю) грань, что и ${\displaystyle S}$^[11].

Симметрический оператор ${\displaystyle S}$ (оператор с симметричной матрицей) в евклидовом пространстве ${\displaystyle R}$ называется неотрицательным, если ${\displaystyle (Sx,x)\geq 0}$ для любого ${\displaystyle x\in R}$. В этом случае квадратичная форма ${\displaystyle (Sx,x)}$ называется неотрицательной, а матрица оператора ${\displaystyle S}$ — неотрицательно определённой.

Симметрический оператор ${\displaystyle S}$ называется положительно определённым, если для любого вектора ${\displaystyle x\neq 0}$ из ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (Sx,x)>0}$. В этом случае квадратичная форма ${\displaystyle (Sx,x)}$ и матрица оператора ${\displaystyle S}$ называются положительно определёнными.

Определить, является ли матрица положительно или неотрицательно определённой, можно при помощи критерия Сильвестра^[12].

Примером полуограниченного снизу оператора может служить оператор Штурма-Лиувилля

${\displaystyle Au(x)=-(p(x)u'(x))'+q(x)u(x),}$

где

${\displaystyle p(x)\geq 0,\quad q(x)\geq q_{0},\quad (0\leq x\leq 1),}$

если его рассматривать в пространстве ${\displaystyle L_{2}(0,1)}$, отнеся к области определения функции ${\displaystyle u(x)}$, дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяющие условиям

${\displaystyle u(0)=0,\quad u'(1)+hu(1)=0,}$

где ${\displaystyle h\geq 0}$ — некоторая постоянная; функции ${\displaystyle p(x),p'(x),q(x)}$ также предполагаются непрерывными. Действительно, можно проверить прямым подсчётом, что

${\displaystyle (Au,u)=hp(1)|u(1)|^{2}+\int \limits _{0}^{1}p(x)|u'(x)|^{2}dx+\int \limits _{0}^{1}q(x)|u(x)|^{2}dx\geq \int \limits _{0}^{1}q_{0}|u(x)|^{2}dx=q_{0}(u,u).}$.

Если ${\displaystyle q_{0}\geq 0}$, то оператор положительный^[11].