Поверхность Макбита

Теоретический фундамент для задачи был заложен в 1893 году А. Гурвицем, доказавшим, что порядок группы конформных автоморфизмов компактной римановой поверхности рода ${\displaystyle g>1}$ не может превышать ${\displaystyle 84(g-1)}$^[1]. Первой конкретной реализацией такой поверхности для нетривиального случая стала кривая, описанная Р. Фрике в 1899 году. Фрике явно построил простую группу из 504 операций и соответствующую ей кривую как фактор верхней полуплоскости по определённой подгруппе модулярной группы^[3].

В 1965 году кривая была независимо переоткрыта Александром Мюрреем Макбитом в статье «On a curve of genus 7». Макбит использовал новый алгебраический подход, построив поверхность как фактор по главной конгруэнц-подгруппе в группе кватернионов над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} (\cos(2\pi /7))}$, и доказал, что это единственная (с точностью до изоморфизма) поверхность Гурвица рода 7^[4]. После этого за объектом закрепилось название «поверхность (кривая) Макбита».

Эквивалентность кривых, изученных Фрике и Макбитом, по свидетельству Н. Элкиса, впервые была чётко отмечена Ж.-П. Серром в письме к Ш. Абхьянкару от 24 июля 1990 года; это письмо впоследствии было переиздано в сборниках трудов Серра^[5][6][7]. В обзорной статье 1999 года и сам Макбит прямо приписывает приоритет результата Фрике^[8].

Дальнейшие исследования кривой были расширены в 1970-х годах Д. Зингерманом, изучавшим неконгруэнц-подгруппы фуксовых групп, а также работами К. Вольфарта о её связи с модулярной группой^[2], К. Берри и М. Треткоффа о матрице периодов^[9], Э. Бухалансе и А. Косты о симметриях^[10], Р. Вогелера о геометрии поверхностей Гурвица^[11] и Р. Идальго о явных моделях^[12].

• Группа автоморфизмов и формула Римана — Гурвица. Группа конформных автоморфизмов поверхности изоморфна PSL(2, 8). Факторпространство поверхности по действию этой группы изоморфно сфере Римана с тремя коническими точками порядков 2, 3 и 7. Максимальность порядка группы строго следует из формулы Римана — Гурвица: ${\displaystyle 2g-2=|G|\left(2g_{0}-2+\sum _{i=1}^{r}\left(1-{\frac {1}{m_{i}}}\right)\right)}$. Подставляя ${\displaystyle g_{0}=0}$, ${\displaystyle m_{1}=2,m_{2}=3,m_{3}=7}$ и ${\displaystyle |G|=504}$, получаем ${\displaystyle 2g-2=504\left(-2+{\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {6}{7}}\right)=504\times {\frac {1}{42}}=12}$, откуда ${\displaystyle g=7}$. Вместе с антиконформными (меняющими ориентацию) изометриями полная группа симметрий имеет порядок 1008 = 2·504^[13].

• Гиперболическая структура. Поверхность допускает гиперболическую структуру постоянной отрицательной кривизны −1: она изоморфна факторпространству ${\displaystyle \mathbb {H} /\Gamma }$ верхней полуплоскости по фуксовой группе ${\displaystyle \Gamma }$ без кручения. Группа ${\displaystyle \Gamma }$ является главной конгруэнц-подгруппой уровня ${\displaystyle \langle 2\rangle }$ обычной треугольной группы ${\displaystyle \Delta (2,3,7)}$; при этом индекс ${\displaystyle [\Delta (2,3,7):\Gamma ]=504}$^[14].
• Систолическая геометрия. Систола поверхности (длина кратчайшей замкнутой геодезической) равна приблизительно 5,796. Число систолических петель равно 126, и они образуют единую орбиту относительно действия группы автоморфизмов (вычисления Р. Вогелера)^[11].
• Точки Вейерштрасса. На поверхности Макбита имеется ровно 168 точек Вейерштрасса. Благодаря высокой симметрии, они образуют единую орбиту под действием группы PSL(2, 8), а их веса Вейерштрасса равномерно распределены, что является нетривиальным арифметическим фактом для поверхностей Гурвица^[15].

Поверхность Макбита несёт регулярную карту типа {3,7} — триангуляцию поверхности, в каждой вершине которой сходится 7 треугольников. Карта имеет 168 граней-треугольников, 252 ребра и 72 вершины; по формуле Эйлера ${\displaystyle 72-252+168=-12=2-2\cdot 7}$, что соответствует роду 7. Двойственная ей карта типа {7,3} состоит из 72 семиугольников, 252 рёбер и 168 вершин. Группа автоморфизмов карты (перестановок граней, рёбер и вершин, сохраняющих комбинаторную структуру) совпадает с группой конформных автоморфизмов поверхности и изоморфна PSL(2, 8); так как карта полностью регулярна, её полная группа автоморфизмов (включая меняющие ориентацию) изоморфна ${\displaystyle {\text{PSL}}(2,8)\times \mathbb {Z} _{2}}$ и имеет порядок 1008^[13].

Якобиан поверхности Макбита обладает богатой арифметической структурой. Благодаря наличию большой группы автоморфизмов, пространство голоморфных дифференциалов (размерности 7) распадается на неприводимые представления группы PSL(2, 8). Как следствие, якобиан поверхности Макбита изогенен произведению эллиптических кривых, каждая из которых допускает комплексное умножение^[17].

Матрица периодов этой кривой, вычисленная К. Берри и М. Треткоффым, определяет решётку в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{7}}$ с высокой степенью симметрии. Эта решётка тесно связана с корневыми решётками типа ${\displaystyle E_{7}}$ и обладает специальными арифметическими свойствами, что делает поверхность Макбита важным тестовым объектом в теории абелевых многообразий с дополнительными эндоморфизмами^[9].

Поверхность Макбита находит важное применение в теории алгебро-геометрических кодов (кодов Гоппы). Благодаря большому числу рациональных точек над конечными полями и высокой симметрии, эта кривая используется для построения кодов с отличными параметрами. В частности, для кривых рода 7 граница Хасе — Вейля над полем из 8 элементов допускает не более 48 точек, и поверхность Макбита, обладая высокой степенью симметрии, даёт конструкции, близкие к этим теоретическим пределам. Это свойство позволяет конструировать эффективные линейные коды, исправляющие множественные ошибки, с параметрами, превосходящими классические коды Боузе — Чоудхури — Хоквингема (БЧХ)^[18].

В современных системах компьютерной алгебры, таких как SageMath и Magma, поверхность Макбита может быть явно сконструирована и исследована:

• в Magma кривая может быть задана своими уравнениями над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-7}})}$, после чего стандартные функции позволяют проверить, что её группа автоморфизмов действительно изоморфна PSL(2, 8), а также вычислить её дзета-функцию над конечными полями и разложение её якобиана;
• в SageMath реализованы алгоритмы для работы с фуксовыми группами, что позволяет строить фундаментальные области поверхности Макбита в модели Пуанкаре, вычислять координаты 168 точек Вейерштрасса и численно аппроксимировать её матрицу периодов с высокой точностью.

Эти инструменты сделали поверхность Макбита доступной для экспериментальной проверки гипотез в арифметической геометрии и теории чисел^[19].