Теорема о модулярности

Теорема утверждает, что любая эллиптическая кривая над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ может быть получена с помощью рационального отображения с целыми коэффициентами из классической модулярной кривой ${\displaystyle X_{0}(N)}$ для некоторого целого числа ${\displaystyle N}$. Это отображение называется модулярной параметризацией уровня ${\displaystyle N}$. Если ${\displaystyle N}$ — наименьшее целое число, для которого может быть найдена такая параметризация (которая по самой теореме о модулярности теперь известна как число, называемое проводником), то параметризация может быть определена в терминах отображения, сгенерированного определённым видом модулярной формы веса 2 и уровня ${\displaystyle N}$, нормализованной новой формой с целым ${\displaystyle q}$ — расширением, за которым при необходимости следует изогения.

Если ${\displaystyle p}$ — простое число, а ${\displaystyle E}$ — эллиптическая кривая над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (полем рациональных чисел), то можно упростить уравнение, определив ${\displaystyle E}$ по модулю ${\displaystyle p}$; для любого конечного множества значений ${\displaystyle p}$ можно получить эллиптическую кривую над конечным полем ${\displaystyle F_{p}}$ из ${\displaystyle n_{p}}$ элементов. Введём последовательность ${\displaystyle a_{p}=n_{p}-p}$, являющуюся важным инвариантом эллиптической кривой ${\displaystyle E}$. Любая модулярная форма также даёт нам последовательность чисел (с помощью преобразования Фурье). Эллиптическая кривая, последовательность которой совпадает с такой же из модулярной формы, называется модуляром.

Теорема о модулярности утверждает, что все эллиптические кривые над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ являются модулярами.

Теорема о модулярности подразумевает аналитическое утверждение:

Для каждой эллиптической кривой ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ можно привести соответствующий ряд ${\displaystyle L}$ или ряд Дирихле, обычно записываемый

${\displaystyle L(E,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Тогда производящая функция коэффициентов a_n равна

${\displaystyle f(E,q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

Если сделать замену ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$, то получим разложение Фурье функции ${\displaystyle f(E,\tau )}$ комплексной переменной ${\displaystyle \tau }$, поэтому коэффициенты ряда ${\displaystyle q}$ также рассматриваются как коэффициенты Фурье функции${\displaystyle f}$. Полученная таким образом функция является формой параболы веса 2 и уровня ${\displaystyle N}$, а также собственной формой (собственным вектором всех операторов Гекке); это гипотеза Хассе-Вейля , которая следует из теоремы о модулярности.

Некоторые модулярные формы веса 2, в свою очередь, соответствуют голоморфным дифференциалам для эллиптической кривой. Якобиан модулярной кривой может (с точностью до изогении) быть записан как произведение неприводимых абелевых многообразий, соответствующих собственным формам Гекке веса 2. Одномерные факторы являются эллиптическими кривыми (могут быть и более многомерные факторы, поэтому не все собственные формы Гекке соответствуют рациональным эллиптическим кривым). Кривая, полученная путём нахождения соответствующей формы возврата и последующего построения из неё кривой, изогенна исходной кривой (но, в общем случае, не изоморфна ей).

Теорема о модулярности входит в программу Ленглендса, которая, в частности, направлена на поиск взаимосвязи автоморфных форм или автоморфных представлений с более общими объектами алгебраической геометрии, такими как эллиптические кривые над полем алгебраических чисел^[1].

В 2015 году Фрейтас, Ле Хунг и Сиксек доказали, что эллиптические кривые, определённые над действительными квадратичными полями, являются модулярными^[2].

Эллиптическая кривая y² − y = x³ − x с дискриминантом и уровнем ${\displaystyle 37}$ связана с формой:

${\displaystyle f(z)=q-2q^{2}-3q^{3}+2q^{4}-2q^{5}+6q^{6}+\cdots ,\qquad q=e^{2\pi iz}}$

Для простых чисел ${\displaystyle l}$, не равных ${\displaystyle 37}$, можно проверить свойство коэффициентов. Так, для ${\displaystyle l=3}$ существует ${\displaystyle 6}$ решений уравнения по модулю ${\displaystyle 3}$: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1); итак a(3) = 3 − 6 = −3.

Эта гипотеза, выдвинутая ещё в 1950-х годах, была полностью доказана к 1999 году с использованием идей Эндрю Уайлса, который доказал её в 1994 году для большого семейства эллиптических кривых^[3].

Существует несколько формулировок гипотезы. Показать, что они эквивалентны, было главной задачей теории чисел во второй половине 20-го века. Модулярность эллиптической кривой ${\displaystyle E}$ проводника ${\displaystyle N}$ можно также выразить, сказав, что существует непостоянное рациональное отображение, определённое над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, из модулярной кривой ${\displaystyle X_{0}(N)}$ в ${\displaystyle E}$.

Например, модульная параметризация кривой y² − y = x³ − x задаётся формулой^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}x(z)&=q^{-2}+2q^{-1}+5+9q+18q^{2}+29q^{3}+51q^{4}+\cdots \\y(z)&=q^{-3}+3q^{-2}+9q^{-1}+21+46q+92q^{2}+180q^{3}+\cdots \end{aligned}}}$

где, как и выше, q = e^2πiz. Функции ${\displaystyle x(z)}$ and ${\displaystyle y(z)}$ являются модулярными с весом ${\displaystyle 0}$ и уровнем ${\displaystyle 37}$; другими словами, они мероморфны, определены на верхней полуплоскости Im(z) > 0 и удовлетворяют ${\displaystyle x\!\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=x(z)}$. Аналогично для ${\displaystyle y(z)}$.

Другая формулировка зависит от сравнения представлений Галуа, связанных, с одной стороны, с эллиптическими кривыми, а с другой стороны — с модулярными формами. Последняя формулировка использовалась в доказательстве гипотезы.

Наиболее впечатляющим применением этой гипотезы является доказательство Великой теоремы Ферма. Предположим, что для простого числа p ≥ 5 уравнение Ферма

${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}}$

имеет решение с ненулевыми целыми числами, что противоречит теореме Ферма. Тогда эллиптическая кривая

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})}$ дискриминанта ${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{256}}(abc)^{2p}}$ не может быть модулярной^[5].

Тем самым, доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля для этого семейства эллиптических кривых (называемых кривыми Хеллегуарха-Фрея) согласуется с утверждениями Великой теоремы Ферма. Доказательство связи между этими двумя утверждениями, основанное на идее Герхарда Фрея (1985), является сложным и технически трудоёмким. Оно было установлено Кеннетом Рибетом в 1987 году^[6].

Это утверждение впервые было высказано в виде гипотезы Ютакой Таниямой на международном симпозиуме по алгебраической теории чисел в Токио и Никко в 1955 году как двенадцатая из его 36 нерешённых проблем. Вместе с Горо Шимурой он немного уточнил формулировку в 1957 году, но не смог продолжить работу из-за психологических проблем. Андре Вейль продолжил работу над гипотезой и показал в 1967 году, что она будет следовать из (предполагаемых) функциональных уравнений для некоторых скрученных L-рядов эллиптической кривой; это было первым серьёзным доказательством того, что гипотеза может быть верной. Вейль также показал, что проводником эллиптической кривой должен быть уровень соответствующей модулярной формы. Поэтому эту гипотезу стали называть гипотезой Таниямы — Шимуры — Вейля.

Гипотеза привлекла значительный интерес, когда Герхард Фрей предположил в 1986 году, что она подразумевает Великую теорему Ферма. Он сделал это, попытавшись показать, что любой контрпример к Великой теореме Ферма будет подразумевать существование по крайней мере одной немодулярной эллиптической кривой. Этот аргумент был завершён в 1987 году, когда Жан-Пьер Серр определил недостающее звено (теперь известное как гипотеза эпсилон или теорема Рибета) в оригинальной работе Фрея, за которым два года спустя последовало завершение доказательства гипотезы эпсилон Кеном Рибетом.

Даже после того, как гипотеза Таниямы — Шимуры — Вейля привлекла к себе серьёзное внимание, современные математики считали её чрезвычайно сложной для доказательства или даже недоступной для доказательства. Например, научный руководитель Уайлса Джон Коутс утверждает, что её «фактически невозможно доказать», а Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые считали её совершенно недоступной».

В 1995 году Эндрю Уайлс с некоторой помощью Ричарда Тейлора доказал гипотезу Таниямы — Шимуры — Вейля для всех полустабильных эллиптических кривых^[7]. Уайлс использовал это для доказательства Великой теоремы Ферма, а полностью гипотеза была доказана в 1999 году в результате трудов Кристо́фа Брёйля, Брайана Конрада, Фреда Даймонда и Ричарда Тейлора, которые доказали остальные (неполустабильные) случаи. После полного доказательства гипотеза стала известна как теорема о модулярности.

Из теоремы о модулярности следуют и другие теоремы теории чисел, похожие на Великую теорему Ферма. Например, «куб числа не может быть записан в виде суммы двух взаимно простых чисел, являющихся ${\displaystyle n}$-ной степенью натурального числа, если ${\displaystyle n\geqslant 3}$».