Затухающие колебания

Пусть имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой ${\displaystyle m}$. Колебания совершаются в среде, в которой сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом ${\displaystyle c}$ (см. вязкое трение)^[4].

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется в виде:

${\displaystyle m{\vec {a}}={\vec {F}}_{c}+{\vec {F}}_{y},}$

где ${\displaystyle F_{c}=-cv}$ — сила сопротивления, а ${\displaystyle F_{y}=-kx}$ — сила упругости. После подстановки получим уравнение вида:

${\displaystyle ma+cv+kx=0,}$

или, в дифференциальной форме:

${\displaystyle {\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0,}$

где ${\displaystyle k}$ — коэффициент упругости в законе Гука, ${\displaystyle c}$ — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения уравнения вводятся следующие обозначения:

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k \over m}},\qquad \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.}$

Величину ${\displaystyle \omega _{0}}$ называют собственной частотой системы, ${\displaystyle \zeta }$ — коэффициентом затухания. С такими обозначениями дифференциальное уравнение принимает вид

${\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.}$

Последнее уравнение предыдущего раздела является общим уравнением затухающих колебаний величины ${\displaystyle x}$ (которая, вообще говоря, не обязательно должна быть координатой). Если абстрагироваться от того, как были получены параметры ${\displaystyle \omega _{0}}$ и ${\displaystyle \zeta }$ в конкретном примере, это уравнение применимо для описания широкого класса систем с затуханием (диссипацией).

Сделав замену ${\displaystyle x=e^{\lambda t}}$, получают характеристическое уравнение:

${\displaystyle \lambda ^{2}+2\zeta \omega _{0}\lambda +\omega _{0}^{2}=0,}$

корни которого вычисляются по формуле

${\displaystyle \lambda _{\pm }=\omega _{0}(-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}).}$

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

• Апериодичность

Если ${\displaystyle \zeta >1}$, то уравнение имеет два действительных корня, а его решение принимает вид:

${\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\lambda _{-}\,t}+c_{2}e^{\lambda _{+}\,t}}$

В этом случае колебания с самого начала затухают по экспоненциальному закону.

• Граница апериодичности

Если ${\displaystyle \zeta =1}$, то два действительных корня уравнения совпадают: ${\displaystyle \lambda =-\omega _{0}}$, и решением уравнения является:

${\displaystyle x(t)=(c_{1}t+c_{2})e^{-\omega _{o}t}}$

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

• Слабое затухание

Если ${\displaystyle \zeta <1}$, то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня:

${\displaystyle \lambda _{\pm }=-\omega _{0}\zeta \pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

${\displaystyle x(t)=e^{-\zeta \omega _{0}t}(c_{1}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+c_{2}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t)),}$

где ${\displaystyle \omega _{d}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$ — собственная частота затухающих колебаний.

Константы ${\displaystyle c_{1}}$ и ${\displaystyle c_{2}}$ в каждом из случаев определяются из начальных условий:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}x(0)&=&a\\{\dot {x}}(0)&=&b\end{array}}\right.}$

Численное решение уравнения затухающих колебаний применяется для расчётов колебаний реальных колебательных систем.