Воспитанник челябинского СДЮШОР «Трактор» (1997—2003), челябинского ДЮСШ «Сигнал» (2004), СДЮШОР «Витязь» (2004—2008). Занимался хоккеем в школе челябинского «Трактора», затем в Подольске в школе «Витязя». Играл за «Витязь» в открытом юношеском первенстве Москвы. С сезона 2008/09 выступал в КХЛ за «Витязь». Также выступал в МХЛ за команду «Русские Витязи». 11 января 2012 года был обменян в казанский «Ак Барс» на денежную компенсацию[3], однако по окончании сезона вернулся в «Витязь»[4].
31 января 2013 года перешёл в петербургскийСКА[5]. 29 апреля 2013 года продлил контракт со СКА на два года[6]. В 2015 году выиграл в составе СКА Кубок Гагарина, набрав в 20 матчах плей-офф 20 очков (5+15).
29 апреля 2015 года Панарин подписал двухлетний контракт новичка с клубом НХЛ «Чикаго Блэкхокс»[7]. Тренерами «Чикаго» Панарин был определён в звено к Патрику Кейну и Артёму Анисимову. Свой дебютный матч в НХЛ провёл 7 октября 2015 года, в котором отметился заброшенной шайбой в ворота «Нью-Йорк Рейнджерс»[8]. 17 февраля 2016 года оформил свой первый хет-трик в НХЛ, забив три шайбы в ворота «Нью-Йорк Рейнджерс»[9]. В регулярном чемпионате набрал 77 очков (30+47) в 80 матчах. По итогам сезона получил Колдер Трофи — приз лучшему новичку года[10].
29 декабря 2016 года «Чикаго Блэкхокс» объявил о продлении контракта с Панариным ещё на два года — до конца сезона 2018/19[12]. По новому соглашению Артемий заработает $ 12 млн. По словам агента хоккеиста Тома Линна, «это самый большой двухлетний контракт в истории Национальной хоккейной лиги»[13].
Первую шайбу за новый клуб забросил в 4-м матче снова против «Нью-Йорк Рейнджерс»[14]. 20 марта 2018 года в матче с теми же «Рейнджерс» оформил хет-трик, первый за «Коламбус» и второй в карьере в НХЛ.[15] По итогам регулярного чемпионата набрал 82 очка, что является новым персональным рекордом, а также рекордом «Блю Джекетс» по набранным очкам.[16] Кроме того, отрыв от занявшего второе место по набранным очкам у «Мундиров» защитника Сета Джонса составил 25 очков. Также Артемий стал лучшим снайпером команды с 27 голами (отрыв от Кэма Аткинсона — 3 гола), лучшим ассистентом с 55 передачами (отрыв от Джонса — 14 передач), лидером среди форвардов по игровому времени (среднее время на льду составило 20:07, больше только у защитников Джонса и Веренски), лидером по показателю полезности (+23) и перехватам (70). В плей-офф в первом же матче серии против «Вашингтон Кэпиталз» Артемий набрал 3 очка (1+2), забив решающий гол в овертайме (встреча закончилась победой «Коламбуса» со счётом 4:3 ОТ)[17]. Всего за 6 игр серии против «Кэпиталз» Панарин набрал 7 очков (2+5).
В межсезонье 2019 Панарин стал одним из самых востребованных неограниченно свободных агентов в НХЛ[18]. Проведя переговоры с несколькими клубами лиги[19], Панарин заключил контракт с «Нью-Йорк Рейнджерс» на семь лет на общую сумму в $ 81,5 млн[20]. Среднегодовой доход Панарина составит $ 11,64 млн, что сделало его самым высокооплачиваемым российским хоккеистом, а также вторым по размеру среднегодовой зарплаты после Конора Макдэвида ($ 12,5 млн в год)[21].
Несмотря на то, что из-за эпидемии коронавируса Панарин провёл за «рейнджеров» лишь неполный сезон, русскоязычный сайт НХЛ признал его главной звездой «Рейнджерс» среди россиян в истории[22].
12 марта 2022 года набрал 5 очков (1+4) в игре против «Даллас Старз» (7:4).
11 февраля 2023 года в победном гостевом матче с «Каролиной Харрикейнз» (6:2) забросил четыре шайбы (в том числе три шайбы в третьем периоде), оформив таким образом первый покер в карьере. Первая шайба стала 200-й для Панарина в НХЛ. Панарин стал 4-м в истории хоккеистом «Рейнджерс», забросившим 4 шайбы за матч. Это был 4-й хет-трик Панарина в НХЛ и первый с декабря 2019 года. Российский хоккеист последний раз забрасывал 4 шайбы в НХЛ в сезоне 2019/20, когда это удалось Денису Гурьянову[23]. До этой игры Панарин не забивал в 8 матчах подряд. Панарин был признан первой звездой недели НХЛ (6-12 февраля 2023), он набрал 9 очков (4+5) в 4 матчах. Всего в сезоне 2022/23 набрал 92 очка (29+63) в 82 матчах. Панарин занял 10-е место среди лучших ассистентов сезона и вошёл в топ-20 лучших бомбардиров.
14 апреля Панарин набрал 779 очко в НХЛ, сравнявшись по этому показателю с Павлом Буре. Это 12-й результат среди российских хоккеистов в истории лиги[24].
8 ноября 2024 года в матче против «Баффало Сейбрз» набрал 800-е очко в карьере в регулярных чемпионатах НХЛ[25].
На чемпионате мира 2015 года провёл 10 матчей, в которых набрал 10 (5+5) очков. На чемпионате мира 2016 года сыграл ещё более результативно, набрав 15 (6+9) очков в 10 матчах и став вторым бомбардиром турнира после Вадима Шипачёва (18 очков). В 2017 году на чемпионате мира в Германии и Франции сыграл 9 матчей и стал лучшим бомбардиром с 17 очками (4+13), а также лучшим ассистентом (13 передач). Был признан лучшим нападающим турнира и включён в символическую сборную.
В июле 2019 года Панарин дал интервью Sports.ru, в котором рассказал о своей жизни и общественной позиции[26]. Большой резонанс вызвала та часть интервью, в которой хоккеист подверг критике российские власти и президента РоссииВладимира Путина[27][28].
В сентябре 2019 года Панарин объявил о создании собственного благотворительного фонда[30].
20 февраля 2021 года в интервью газете «Комсомольская правда» российский тренер Андрей Назаров заявил, что в декабре 2011 года, когда он возглавлял чеховский «Витязь» и где в то время выступал Артемий Панарин, после выездного матча регулярного чемпионата КХЛ в Риге против местного «Динамо», Панарин в состоянии алкогольного опьянения напал на 18-летнюю гражданку Латвии в баре отеля «Radisson». По словам Назарова, Панарину грозил тюремный срок, однако за него вступились влиятельные жители Риги и урегулировали вопрос с местной полицией за взятку в €40 тыс. 22 февраля 2021 года Панарин отверг все обвинения и взял отпуск на неопределённое время. Также отверг обвинения бывший одноклубник Панарина по «Витязю» Михаил Анисин, который по словам Назарова был свидетелем инцидента[31][32][33]. 10 марта Панарин вернулся в расположение «Нью-Йорк Рейнджерс»[34].