Нормальная форма (математика)

Пусть задано множество S объектов с отношением эквивалентности R на S. Каноническая форма задаётся выбором некоторых объектов из S, которые считаются «находящимися в канонической форме», так что каждый объект эквивалентен ровно одному объекту в канонической форме. Иными словами, канонические формы в S представляют классы эквивалентности по одному разу. Для проверки эквивалентности двух объектов достаточно сравнить их канонические формы.

Каноническая форма таким образом задаёт классификационную теорему и, более того, не только классифицирует каждый класс, но и выделяет (канонического) представителя для каждого объекта в классе.

Формально, канонизация относительно отношения эквивалентности R на множестве S — это отображение c:S→S, такое что для всех s, s₁, s₂ ∈ S:

1. c(s) = c(c(s))   (идемпотентность),
2. s₁ R s₂ тогда и только тогда, когда c(s₁) = c(s₂)   (решающая способность),
3. s R c(s)   (представительность).

Свойство 3 избыточно; оно следует из применения 2 к 1.

На практике часто важно уметь распознавать канонические формы. Также возникает алгоритмический вопрос: как перейти от произвольного объекта s ∈ S к его канонической форме s*? Канонические формы обычно используются для эффективной работы с классами эквивалентности. Например, в вычислениях по модулю канонической формой класса вычетов обычно берут наименьшее неотрицательное целое число в классе. Операции над классами выполняются с этими представителями, а результат приводится к наименьшему неотрицательному вычету.

Требование уникальности иногда ослабляется, позволяя формам быть уникальными с точностью до более тонкого отношения эквивалентности, например, допускается перестановка слагаемых (если нет естественного порядка).

Каноническая форма может быть как соглашением, так и следствием глубоких теорем. Например, многочлены обычно записывают в порядке убывания степеней: принято писать x² + x + 30, а не x + 30 + x², хотя оба выражения определяют один и тот же многочлен. В то же время существование Жордановой нормальной формы для матрицы — это глубокая теорема.

Согласно Оксфордскому словарю английского языка и LSJ, термин канонический происходит от древнегреческого слова kanonikós (κανονικός, «правильный, соответствующий правилу») от kanṓn (κανών, «жезл, правило»). Значение нормы, стандарта или архетипа используется во многих дисциплинах. Математическое употребление засвидетельствовано в письме 1738 года Джеймса Логана^[3]. Немецкий термин kanonische Form встречается в статье Эйзенштейна 1846 года^[4], в том же году Рихело использует термин Normalform в своей работе^[5], а в 1851 году Сильвестр пишет:^[6]

В тот же период термин встречается у Гессе («Normalform»)^[7], Эрмита («forme canonique»)^[8], Борхардта («forme canonique»)^[9], и Кейли («canonical form»)^[10].

В 1865 году Dictionary of Science, Literature and Art определяет каноническую форму как:

Примечание: в этом разделе «с точностью до» некоторого отношения эквивалентности E означает, что каноническая форма не всегда единственна, но если у объекта есть две разные канонические формы, то они E-эквивалентны.

Стандартная форма используется многими математиками и учёными для записи очень больших чисел в более компактном и понятном виде, наиболее известной из которых является научная нотация^[11].

• Каноническое представление положительного целого числа
• Каноническая форма непрерывной дроби для представления числа — это простая непрерывная дробь.

Объекты	A эквивалентна B, если:	Нормальная форма	Примечания
Нормальные матрицы над комплексными числами	${\displaystyle A=U^{*}BU}$ для некоторой унитарной матрицы U	Диагональные матрицы (с точностью до перестановки)	Это спектральная теорема
Матрицы над комплексными числами	${\displaystyle A=UBV^{*}}$ для некоторых унитарных матриц U и V	Диагональные матрицы с вещественными неотрицательными элементами (в порядке убывания)	Сингулярное разложение матрицы
Матрицы над алгебраически замкнутым полем	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$ для некоторой обратимой матрицы P	Жорданова нормальная форма (с точностью до перестановки блоков)
Матрицы над алгебраически замкнутым полем	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$ для некоторой обратимой матрицы P	Каноническая форма Вейра (с точностью до перестановки блоков)
Матрицы над полем	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$ для некоторой обратимой матрицы P	Фробениусова нормальная форма
Матрицы над главным идеальным кольцом	${\displaystyle A=P^{-1}BQ}$ для некоторых обратимых матриц P и Q	Нормальная форма Смита	Эквивалентность соответствует разрешению обратимых элементарных строковых и столбцовых преобразований
Матрицы над целыми числами	${\displaystyle A=UB}$ для некоторой унитарной матрицы U	Нормальная форма Эрмита
Матрицы над целыми по модулю n		Нормальная форма Хауэлла
Конечномерные векторные пространства над полем K	A и B изоморфны как векторные пространства	${\displaystyle K^{n}}$, n — неотрицательное целое

В аналитической геометрии:

• Уравнение прямой: Ax + By = C, где A² + B² = 1 и C ≥ 0
• Уравнение окружности: ${\displaystyle (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}}$

Существуют и альтернативные формы записи уравнений. Например, уравнение прямой может быть записано как линейное уравнение в точка-угловой форме или угловой форме.

Выпуклые многогранники могут быть приведены к канонической форме, при которой:

• Все грани плоские,
• Все рёбра касаются единичной сферы,
• Центроид многогранника находится в начале координат^[12].

У каждого дифференцируемого многообразия есть котангенциальное расслоение. Это расслоение всегда можно наделить определённой дифференциальной формой, называемой канонической 1-формой. Эта форма придаёт котангенциальному расслоению структуру симплектического многообразия и позволяет интегрировать векторные поля на многообразии с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа или гамильтоновой механики. Такие системы интегрируемых дифференциальных уравнений называются интегрируемыми системами.

Изучение динамических систем пересекается с изучением интегрируемых систем; здесь возникает понятие нормальной формы.

В изучении многообразий в трёх измерениях рассматривают первую фундаментальную форму, вторую фундаментальную форму и третью фундаментальную форму.

Объекты	A эквивалентен B, если:	Нормальная форма
Гильбертовы пространства	Если A и B — гильбертовы пространства бесконечной размерности, то они изометрически изоморфны.	${\displaystyle \ell ^{2}(I)}$ — пространства последовательностей (с точностью до замены множества индексов I на другое той же мощности)
Коммутативные C*-алгебры с единицей	A и B изоморфны как C*-алгебры	Алгебра ${\displaystyle C(X)}$ непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве, с точностью до гомеоморфизма базового пространства

• Нормальная форма отрицания
• Конъюнктивная нормальная форма
• Дизъюнктивная нормальная форма
• Алгебраическая нормальная форма
• Пренексная нормальная форма
• Сколемовская нормальная форма
• Каноническая форма Блейка, также известная как полная сумма простых импликантов, полная сумма или дизъюнктивная простая форма

• Канторовская нормальная форма порядкового числа

• Нормальная форма игры

• Нормальная форма (естественный вывод)

Символьное преобразование формулы из одной формы в другую называется «переписыванием» этой формулы. Можно изучать абстрактные свойства переписывания формул, исследуя совокупность правил, по которым формулы могут быть преобразованы. Это так называемые «правила переписывания» — неотъемлемая часть абстрактной переписывающей системы. Обычный вопрос — можно ли привести произвольное выражение к единой общей форме, нормальной форме. Если различные последовательности переписываний приводят к одной и той же форме, то эта форма называется нормальной, а переписывание — согласованным. Не всегда возможно получить нормальную форму.

• Лямбда-терм находится в бета-нормальной форме, если дальнейшее бета-сокращение невозможно; лямбда-исчисление — частный случай абстрактной переписывающей системы. Например, в нетипизированном лямбда-исчислении терм ${\displaystyle (\lambda x.(xx)\;\lambda x.(xx))}$ не имеет нормальной формы. В типизированном лямбда-исчислении любой корректный терм может быть приведён к нормальной форме.

В теории графов задача канонизации графа состоит в нахождении канонической формы данного графа G. Каноническая форма — это маркированный граф Canon(G), изоморфный G, такой что любой граф, изоморфный G, имеет ту же каноническую форму, что и G. Таким образом, решение задачи канонизации графа позволяет решить и задачу изоморфизма графов: чтобы проверить, изоморфны ли два графа G и H, достаточно вычислить их канонические формы Canon(G) и Canon(H) и сравнить их.

В вычислительной технике приведение данных к некоторой канонической форме обычно называют нормализацией данных.

Например, нормализация базы данных — это процесс организации полей и таблиц реляционной базы данных с целью минимизации избыточности и зависимости^[13].

В области безопасности программного обеспечения распространённой уязвимостью является несанкционированный ввод (см. инъекция кода). Для предотвращения этой проблемы используется валидация ввода. Перед валидацией ввод обычно нормализуется: удаляется кодировка (например, HTML-кодировка) и данные приводятся к единому набору символов.

Другие виды данных, связанные с обработкой сигналов (включая аудио и изображения) или машинное обучение, могут нормализоваться для ограничения диапазона значений.

В контент-менеджменте применим принцип единый источник истины (SSOT), как и в нормализации баз данных и разработке ПО. Современные системы управления контентом предоставляют логические способы его достижения, например, через трансклюзию.