Лямбда-исчисление

Чистое λ-исчисление, термы которого, называемые также объектами («обами»), или λ-термами, построены исключительно из переменных применением аппликации и абстракции. Изначально наличие каких-либо констант не предполагается.

В основу λ-исчисления положены две фундаментальные операции:

• Аппликация (лат. applicatio — прикладывание, присоединение) означает применение функции к заданному значению аргумента (то есть вызов функции). Её обычно обозначают ${\displaystyle f\ a}$, где ${\displaystyle f}$ — функция, а ${\displaystyle a}$ — аргумент. Это соответствует общепринятой в математике записи ${\displaystyle f(a)}$, которая тоже иногда используется, однако для λ-исчисления важно то, что ${\displaystyle f}$ трактуется как алгоритм, вычисляющий результат по заданному входному значению. В этом смысле аппликация ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ может рассматриваться двояко: как результат применения ${\displaystyle f}$ к ${\displaystyle a}$, или же как процесс вычисления этого результата. Последняя интерпретация аппликации связана с понятием β-редукции.

• Абстракция или λ-абстракция (лат. abstractio — отвлечение, отделение), в свою очередь, строит функции по заданным выражениям. Именно, если ${\displaystyle t\equiv t[x]}$ — выражение, свободно содержащее ${\displaystyle x}$, тогда запись ${\displaystyle (\lambda x.t[x])}$ означает: λ функция от аргумента ${\displaystyle x}$, которая имеет вид ${\displaystyle t[x]}$, и обозначает функцию ${\displaystyle x\mapsto t[x]}$. Здесь скобки не обязательны и использованы для ясности, так как точка является частью нотации и отделяет имя связанной переменной от тела функции. Таким образом, с помощью абстракции можно конструировать новые функции. Требование, чтобы ${\displaystyle x}$ свободно входило в ${\displaystyle t}$, не обязательно — в этом случае ${\displaystyle \ \lambda x.t}$ обозначает функцию ${\displaystyle x\mapsto t}$, то есть такую, которая игнорирует свой аргумент.

Основная форма эквивалентности, определяемая в лямбда-термах, это альфа-эквивалентность. Например, ${\displaystyle \lambda x.x}$ и ${\displaystyle \lambda y.y}$ это альфа-эквивалентные лямбда-термы которые оба представляют одну и ту же функцию — а именно, функцию тождества ${\displaystyle x\mapsto x}$. Термы ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ не являются альфа-эквивалентными, так как они не находятся в лямбда-абстракции.

По определению, ${\displaystyle \lambda x.t[x]}$ ${\displaystyle \alpha }$-эквивалентно ${\displaystyle \lambda y.t[y]}$ если ${\displaystyle y}$ не входит свободно в ${\displaystyle t[x]}$, и ${\displaystyle t[y]}$ это ${\displaystyle t[x]}$ в котором все свободные появления ${\displaystyle x}$ заменены на ${\displaystyle y}$.

Требование, чтобы ${\displaystyle y}$ не была свободной переменной в ${\displaystyle t[x]}$ — существенно, так как иначе она окажется «захваченной» абстракцией ${\displaystyle \lambda y}$, и, после ${\displaystyle \alpha }$-преобразования, из свободной переменной в ${\displaystyle \lambda x.t[x]}$ превратится в связанную переменную в ${\displaystyle \lambda y.t[y]}$.

Применение некой фунции к некоему аргументу выражается в ${\displaystyle \lambda }$-исчислении как аппликация ${\displaystyle \lambda }$-терма, выражающего эту функцию, и ${\displaystyle \lambda }$-терма аргумента. Например, применение функции ${\displaystyle f(x)=2x+1}$ к числу 3 выражается аппликацией

${\displaystyle (\lambda x.2\cdot x+1)\ 3,}$

в которой на первом месте находится соответствующая абстракция. Поскольку эта функция ставит в соответствие каждому ${\displaystyle x}$ значение ${\displaystyle 2x+1}$, для вычисления результата необходимо заменить каждое свободное появление переменной ${\displaystyle x}$ в терме ${\displaystyle 2\cdot x+1}$ на терм 3.

В результате получается ${\displaystyle 2\cdot 3+1=7}$. Это соображение в общем виде записывается как

${\displaystyle (\lambda x.t)\ a=t[x:=a]}$

и носит название β-редукция. Выражение вида ${\displaystyle (\lambda x.t)\ a}$, то есть применение абстракции к некоему терму, называется редексом (redex). Несмотря на то, что β-редукция по сути является единственной «существенной» аксиомой λ-исчисления, она приводит к весьма содержательной и сложной теории. Вместе с ней λ-исчисление обладает свойством полноты по Тьюрингу и, следовательно, представляет собой простейший язык программирования.

${\displaystyle \eta }$-преобразование выражает ту идею, что две функции являются идентичными тогда и только тогда, когда, будучи применёнными к любому аргументу, дают одинаковые результаты.

${\displaystyle \eta }$-преобразование переводит друг в друга формулы ${\displaystyle \lambda x.f\ x}$ и ${\displaystyle f}$, но только если ${\displaystyle x}$ не появляется свободно в ${\displaystyle f}$. Иначе, свободная переменная ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle f}$ после преобразования стала бы связанной внешней абстракцией ${\displaystyle \lambda x}$, и наоборот; и тогда применение этих двух выражений сводилось бы ${\displaystyle \beta }$-редукцией к разным результатам.

Перевод ${\displaystyle \lambda x.f\ x}$ в ${\displaystyle f}$ называют ${\displaystyle \eta }$-редукцией, а перевод ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle \lambda x.f\ x}$ — ${\displaystyle \eta }$-экспансией.

Функция двух переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$ может быть рассмотрена как функция одной переменной ${\displaystyle x}$, возвращающая функцию одной переменной ${\displaystyle y}$, то есть как выражение ${\displaystyle \ \lambda x.\lambda y.x+y}$. Такой приём работает точно так же для функций любой арности. Это показывает, что функции многих переменных могут быть выражены в λ-исчислении и являются «синтаксическим сахаром». Описанный процесс превращения функций многих переменных в функцию одной переменной называется карринг (также: каррирование), в честь американского математика Хаскелла Карри, хотя первым его предложил Моисей Шейнфинкель (1924).

Соответственно, аппликация n-арных функций это на самом деле аппликация вложенных унарных функций, одна за другой. Например, для бинарных функций:

  (λxy.    ...x...y... )  a  b   =
  (λx.λy.  ...x...y... )  a  b   =
  (λx.(λy. ...x...y... )) a  b   =
(((λx.(λy. ...x...y... )) a) b)  =
      (λy. ...a...y... )     b   =
           ...a...b...

Тот факт, что термы λ-исчисления действуют как функции, применяемые к термам λ-исчисления (то есть, возможно, к самим себе), приводит к сложностям построения адекватной семантики λ-исчисления. Чтобы придать λ-исчислению какой-либо смысл, необходимо получить множество ${\displaystyle D}$, в которое вкладывалось бы его пространство функций ${\displaystyle D\to D}$. В общем случае такого ${\displaystyle D}$ не существует по соображениям ограничений на мощности этих двух множеств, ${\displaystyle D}$ и функций из ${\displaystyle D}$ в ${\displaystyle D}$: второе имеет бо́льшую мощность, чем первое.

Эту трудность в начале 1970-х годов преодолел Дана Скотт, построив понятие области ${\displaystyle D}$ (изначально на полных решётках^[1], в дальнейшем обобщив до полного частично упорядоченного множества со специальной топологией) и урезав ${\displaystyle D\to D}$ до непрерывных в этой топологии функций^[2]. На основе этих построений была создана денотационная семантика языков программирования, в частности, благодаря тому, что с помощью них можно придать точный смысл таким двум важным конструкциям языков программирования, как рекурсия и типы данных.

Рекурсия — это определение функции через саму себя; на первый взгляд, лямбда-исчисление не позволяет этого, но это впечатление обманчиво. Например, рассмотрим рекурсивную функцию, вычисляющую факториал:

f(n) = 1, if n = 0; else n × f(n - 1).

Мы не можем выразить эту функцию λ-термом (λn.(1, if n = 0; else n × (f (n-1)))), так как в нём f окажется свободной переменной. Эта функция (${\displaystyle f}$) ссылается на саму себя посредством ссылки на своё имя (f), но в лямбда-исчислении у λ-термов имен нет.

Тем не менее, λ-термы могут быть переданы как аргумент, в том числе и самим себе. Терм-функция может получить сам себя как аргумент, который окажется связанным с его параметром. Как правило, этот параметр стоит на первом месте. Связав его с функцией, мы получаем новый λ-терм, выражающий уже рекурсивную функцию. Для этого параметр, ссылающийся на себя (здесь обозначен как ${\displaystyle h}$), обязательно должен быть передан явным образом как аргумент при рекурсивном вызове (как ${\displaystyle h\ h}$):

U := λh. h h

f := U (λh. λn. (1, if n = 0; else n × (h h (n-1))))

где ${\displaystyle U}$ — это комбинатор само-аппликации, ${\displaystyle Uh=h\ h}$.

Этот приём позволяет решить каждую конкретную проблему, как вычисление факториала здесь, создавая рекурсивную функцию через изменение λ-терма, для его явной передачи самому себе как добавочного аргумента. Но решение в общем виде также возможно. Несколькими несложными преобразованиями мы получаем

     U (λh.      λn. (1, if n = 0; else n × (h h (n-1))))
     U (λh. (λr. λn. (1, if n = 0; else n × (r   (n-1)))) (h h))
(λg. U (λh. g (h h))) (λr. λn. (1, if n = 0; else n × (r (n-1))))

Это эквивалентое выражение состоит из аппликации двух независимых λ-термов, где второй — это просто лямбда-выражение рекурсивной функции без изменений, но с абстрагированным рекурсивным вызовом ${\displaystyle (\lambda r)}$. А первый это некий комбинатор, называемый ${\displaystyle Y}$:

g :=                  (λr. λn. (1, if n = 0; else n × (r (n-1))))
Y := λg. U (λh. g (h h)) 
   = λg. (λh. g (h h)) (λh. g (h h))

Этот комбинатор создает рекурсивную функцию из аргумента, являющегося закрытым (то есть в котором нет свободных переменных) λ-термом исходного выражения функции. Таким образом,

Y g = (λh. g (h h)) (λh. g (h h))
    = g ((λh. g (h h)) (λh. g (h h)))
    = g (Y g)

то есть ${\displaystyle \operatorname {Y} }$ — это комбинатор неподвижной точки: он вычисляет неподвижную точку своего аргумента. Для закрытого λ-терма с подходящей арностью, его неподвижная точка выражает рекурсивную функцию, так как ${\displaystyle Y\ g\ n=g\ (Y\ g)\ n}$, то есть аргумент который здесь создаётся для рекурсивного вызова внутри ${\displaystyle g}$ — это та же самая функция ${\displaystyle Y\ g\ }$!

f = Y (λr. λn. (1, if n = 0; else n × (r (n-1))))
  = Y g
  = g (Y g)
  = (λr. λn. (1, if n = 0; else n × (r (n-1)))) (Y g)
  = (    λn. (1, if n = 0; else n × (Y g (n-1)))) 
  = (    λn. (1, if n = 0; else n × (f   (n-1)))) 
  = g f

Итак, ${\displaystyle g}$ — это закрытый функционал, то есть λ-терм, вызывающий свой аргумент в качестве функции; его неподвижная точка — это функция, которая передаётся ему же в качестве аргумента; а вызов той же самой функции и есть рекурсивный вызов, по определению.

Существует несколько определений комбинаторов неподвижной точки. Вышеуказанное — самое простое:

Y := λg. (λh. g (h h)) (λh. g (h h))

Используя стандартные комбинаторы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$,

Y g = U (λh. g (U h)) = U (λh. B g U h)
    = U (B g U) = U (C B U g) 
    = B U (C B U) g

Indeed,

U (B g U) = B g U (B g U)
    = g (U (B g U))
    = g (Y g)

Итак, чтобы определить факториал как рекурсивную функцию, мы можем просто написать ${\displaystyle \operatorname {Y} g\ n}$, где ${\displaystyle n}$ — число, для которого вычисляется факториал. Пусть ${\displaystyle n=4}$, получаем:

Y g 4
Y (λrn.(1, if n = 0; else n·(r (n-1)))) 4
(λrn.(1, if n = 0; else n·(r (n-1)))) (Y g) 4
(λn.(1, if n = 0; else n·(Y g (n-1)))) 4
1, if 4 = 0; else 4·(Y g (4-1))
4·(Y g 3)
4·(g (Y g) 3)
4·((λrn.(1, if n = 0; else n·(r (n-1)))) (Y g) 3)
4·(1, if 3 = 0; else 3·(Y g (3-1)))
4·(3·(g (Y g) 2))
4·(3·(1, if 2 = 0; else 2·(Y g (2-1))))
4·(3·(2·(g (Y g) 1)))
4·(3·(2·(1, if 1 = 0; else 1·(Y g (1-1)))))
4·(3·(2·(1·(g (Y g) 0))))
4·(3·(2·(1·(1, if 0 = 0; else 0·(Y g (0-1))))))
4·(3·(2·(1·(1))))
24

Итак, каждое определение рекурсивной функции может быть представлено как неподвижная точка соответствующего закрытого функционала описывающего «один вычислительный шаг» рекурсивной функции. Следовательно, используя ${\displaystyle \operatorname {Y} }$, каждое рекурсивное определение может быть выражено как лямбда-выражение (λ-терм). В частности, мы можем определить вычитание, умножение, сравнение натуральных чисел рекурсивно, и выразить их как λ-термы.

В языках программирования под «λ-исчислением» зачастую понимается механизм «анонимных функций» — callback-функций, которые можно определить прямо в том месте, где они используются, и которые имеют доступ к локальным переменным текущей функции (замыкание).