Натуральные и целые числа

Це́лые чи́сла — это расширение множества натуральных чисел^[1], получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел^[2]. Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью вычитать большее число из меньшего. Введение нуля и отрицательных чисел делает вычитание операцией, определённой для любой пары натуральных чисел^[3].

Целые числа на числовой прямой

Вещественное число является целым, если его десятичное представление не содержит дробной части (но может содержать знак). Примеры вещественных чисел:

Числа 142857; 0; −273 являются целыми.

Числа 5½; 9,75; −12,07 не являются целыми.

Множество целых чисел состоит из трёх частей:

1. Натуральные числа (или, что то же самое, целые положительные). Они возникают при счёте (1, 2, 3, 4, 5…)^[4].
2. Ноль — число, обозначаемое ${\displaystyle 0}$.
3. Целые отрицательные числа.

Отрицательные числа при записи помечаются спереди знаком минус: ${\displaystyle -1,-2,-3\dots }$ Для каждого целого числа ${\displaystyle a}$ существует единственное противоположное ему число, обозначаемое ${\displaystyle -a}$. Если ${\displaystyle a}$ положительно, то противоположное ему отрицательно, и наоборот. Ноль противоположен самому себе^[2].

Модулем целого числа ${\displaystyle a}$ называется расстояние от начала отсчёта до точки числовой оси, соответствующей этому числу^[5]. Обозначение: ${\displaystyle \left|a\right|.}$

Примеры: ${\displaystyle \left|4\right|=4;\ \left|-5\right|=5;\ \left|0\right|=0}$

Для целых чисел определены три основные арифметические операции: сложение, обратное к сложению вычитание и умножение. Имеется также важная операция, специфическая для натуральных и целых чисел: деление с остатком. Наконец, для целых чисел определён порядок, позволяющий сравнивать числа друг с другом.

Сравнить два целых числа — значит, определить, какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.

Сравнивать целые числа можно с помощью ряда целых чисел, так как числа в нём расположены от меньшего к большему, если двигаться по ряду слева направо. Поэтому в ряду целых чисел можно заменить запятые на знак меньше:

${\displaystyle ...-5<-4<-3<-2<-1<0<1<2<3<4<5<...}$

Следовательно, из двух целых чисел больше то число, которое в ряду стоит правее, и меньше то, которое стоит левее, значит:

1. Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа:

${\displaystyle 1>0}$; ${\displaystyle 21>-13}$.

2. Любое отрицательное число меньше нуля:

${\displaystyle -9<0}$; ${\displaystyle -256<0}$.

3. Из двух отрицательных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее:

${\displaystyle -44<-27}$.

Также из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, а меньше то, модуль которого больше. Если модули отрицательных чисел равны, то и сами числа равны.

Натура́льные чи́сла — это числа, возникающие при счёте предметов. Множество натуральных чисел обозначается символом ℕ. В традиционном (европейском) понимании под натуральными числами подразумеваются положительные целые числа: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. В некоторых математических дисциплинах к множеству натуральных чисел также относят ноль; в этом случае используется обозначение ℕ₀ или оговаривается, что ноль включён.

Натуральные числа исторически возникли из практической потребности человека считать предметы и сравнивать количества. Это первое и одно из важнейших понятий, с которым сталкивается человек в процессе обучения арифметике. Натуральные числа применяются при счёте, нумерации, упорядочивании объектов.

Примеры:

• Числа 1, 2, 7, 100 — натуральные.
• Числа 0 (в традиционном подходе), −3, 4,5, √2 — не являются натуральными.

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

• сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
• умножение: множитель × множитель = произведение;
• возведение в степень: ${\displaystyle a^{b}}$, где ${\displaystyle a}$ — основание степени, ${\displaystyle b}$ — показатель степени. Если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

• вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом);
• деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное ${\displaystyle p}$ и остаток ${\displaystyle r}$ от деления ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$ определяются так: ${\displaystyle a=p\cdot b+r}$, причём ${\displaystyle r<b}$. Заметим, что при обобщении определения на множество неотрицательных целых чисел последнее условие запрещает деление на нуль, так как в этом множестве не существует ${\displaystyle r<0}$.

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

• Коммутативность сложения:

${\displaystyle a+b=b+a.}$

• Коммутативность умножения:

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a.}$

• Ассоциативность сложения:

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c).}$

• Ассоциативность умножения:

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).}$

• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

${\displaystyle {\begin{cases}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{cases}}.}$

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и рациональных положительных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{*}}$ соответственно.