Степень с рациональным показателем

Выражение ${\displaystyle a^{\tfrac {m}{n}}}$, где ${\displaystyle a>0}$, означает корень, показатель которого равен знаменателю ${\displaystyle n}$ дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, а показатель степени подкоренного числа равен числителю ${\displaystyle m}$ дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, то есть ${\displaystyle a^{\tfrac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$^[2].

Степенью положительного числа ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a>0)}$ с рациональным показателем ${\displaystyle s={\frac {k}{n}}}$, ${\displaystyle n\in N(n>1)}$, ${\displaystyle k\in Z}$, называется число ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{k}}}}$, то есть ${\displaystyle a^{s}=a^{\tfrac {k}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{k}}}}$, причём ${\displaystyle a^{0}=1}$^[3].

Степень с основанием, равным нулю, определяют только для положительного рационального показателя.

${\displaystyle 0^{\tfrac {a}{b}}=0}$, ${\displaystyle a\in N}$, ${\displaystyle b\in N}$.

Важно учесть, что основание дроби не может быть отрицательным числом, а показатель степени может быть как положительным, так и отрицательным^[4].

Если ${\displaystyle {\frac {p}{k}}}$ — обыкновенная дробь, где ${\displaystyle q\neq 1}$ и ${\displaystyle a>0}$, то под ${\displaystyle a^{\tfrac {-p}{k}}}$ понимают ${\displaystyle {\frac {1}{a^{\tfrac {p}{k}}}}}$, то есть ${\displaystyle a^{\tfrac {-p}{k}}={\frac {1}{a^{\tfrac {p}{k}}}}}$.

Для того, чтобы найти значение степени с рациональным показателем нужно преобразовать искомое значение в уравнение вида ${\displaystyle x=y^{\tfrac {b}{c}}}$ и решить его^[5].

Например, нужно найти значение степени ${\displaystyle 3^{\tfrac {2}{b}}}$. Тогда обозначим через ${\displaystyle x}$ искомое значение, то есть ${\displaystyle x=3^{\tfrac {2}{b}}}$. Выполнив тождественное преобразование, возведя обе части полученного равенства в пятую степень, получим:

${\displaystyle x^{5}=(3^{\tfrac {2}{b}})^{5}}$,

${\displaystyle x^{5}=3^{2}}$.

Согласно определению корня ${\displaystyle n}$-ой степени, имеем: ${\displaystyle x={\sqrt[{5}]{3^{2}}}}$. Таким образом, получили, что ${\displaystyle 3^{\tfrac {2}{b}}={\sqrt[{5}]{3^{2}}}}$.

К степеням с одинаковым основанием может применяться действие математического умножения множителей^[6].

${\displaystyle a^{s}\cdot a^{p}=a^{s+p}}$.

К степеням с одинаковым основанием может применяться действие математического деления частного.

${\displaystyle a^{s}\div a^{p}=a^{s-p}}$.

Для возведения степени с рациональным показателем в степень применяется действие умножения показателей данных степеней^[7].

${\displaystyle (a^{s})^{p}=a^{s\cdot p}}$.

Степень, имеющая рациональный показатель над произведением пары чисел больше нуля, равна произведению степеней данных множителей.

${\displaystyle (a\cdot b)^{s}=a^{s}\cdot b^{s}}$.

Степень, имеющая рациональный показатель над частным пары чисел больше нуля, равна частному степеней данных чисел.

${\displaystyle ({\frac {a}{b}})^{s}={\frac {a^{s}}{b^{s}}}}$.