Непрерывная и дискретная переменная

Непрерывная переменная — это переменная, для которой между любыми двумя её значениями существуют возможные промежуточные значения. Например, переменная, определённая на непустом диапазоне вещественных чисел, является непрерывной, если она может принимать любое значение из этого диапазона^[3]. Методы математического анализа часто применяются в задачах, где переменные непрерывны, например, в задачах непрерывной оптимизации^[4]. В статистической теории распределения вероятностей непрерывных переменных могут быть выражены с помощью функций плотности вероятности^[5]. В непрерывном времени динамических систем переменная «время» рассматривается как непрерывная, а уравнение, описывающее эволюцию некоторой переменной во времени, является дифференциальным уравнением^[6]. Мгновенная скорость изменения — это строго определённое понятие, выражающее отношение изменения зависимой переменной к независимой в конкретный момент времени.

Переменная называется дискретной, тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие между этой переменной и подмножеством ${\displaystyle \mathbb {N} }$, то есть множества натуральных чисел^[7]. Иными словами, дискретная переменная на определённом интервале вещественных значений — это такая переменная, для любого допустимого значения которой существует положительное минимальное расстояние до ближайшего другого допустимого значения. Число допустимых значений либо конечно, либо счётно бесконечно. Типичные примеры — переменные, которые могут принимать только целые значения, неотрицательные целые, положительные целые или только значения 0 и 1^[8].

Методы математического анализа обычно не применимы к задачам с дискретными переменными. Особенно в многомерном анализе многие модели строятся на предположении непрерывности^[9]. Примеры задач с дискретными переменными включают целочисленное программирование.

В статистике распределения вероятностей дискретных переменных выражаются с помощью функций вероятности^[5].

В дискретном времени динамических систем переменная «время» рассматривается как дискретная, а уравнение эволюции некоторой переменной во времени называется разностным уравнением.^[10] Для некоторых дискретных динамических систем отклик системы может быть описан аналитическим решением разностного уравнения.

В эконометрике и более общих задачах регрессионного анализа иногда некоторые из переменных, эмпирически связанных между собой, являются 0-1 переменными, то есть могут принимать только эти два значения^[11]. Цель дискретных значений 0 и 1 — использовать фиктивную переменную как «переключатель», который может «включать» и «выключать» различные параметры в уравнении. Переменная такого типа называется фиктивной переменной. Если зависимая переменная является фиктивной, обычно применяют логистическую регрессию или пробит-регрессию. В регрессионном анализе фиктивная переменная может использоваться для представления подгрупп выборки (например, значение 0 соответствует элементу контрольной группы)^[12].

Смешанная многомерная модель может содержать как дискретные, так и непрерывные переменные. Например, простая смешанная многомерная модель может включать дискретную переменную ${\displaystyle x}$, принимающую только значения 0 или 1, и непрерывную переменную ${\displaystyle y}$^[13]. Примером смешанной модели может быть исследование риска психических расстройств на основе одной бинарной оценки психиатрических симптомов и одной непрерывной оценки когнитивных способностей^[14]. Смешанные модели могут также включать одну переменную, которая дискретна на одном участке числовой прямой и непрерывна на другом.

В теории вероятностей и статистике распределение вероятностей смешанной случайной величины состоит из дискретной и непрерывной составляющих. Смешанная случайная величина не имеет функции распределения, которая была бы полностью дискретной или всюду непрерывной. Примером смешанной случайной величины является вероятность времени ожидания в очереди. Вероятность того, что клиент не будет ждать (нулевое время ожидания), дискретна, а ненулевые времена ожидания рассматриваются на непрерывной шкале времени^[15]. В физике (особенно в квантовой механике, где такие распределения часто встречаются) для объединённого описания непрерывных и дискретных компонентов часто используют дельта-функции Дирака. Предыдущий пример может быть описан плотностью вероятности ${\displaystyle p(t)=\alpha \delta (t)+g(t)}$, где ${\displaystyle P(t>0)=\int _{0}^{\infty }g(t)=1-\alpha }$, а ${\displaystyle P(t=0)=\alpha }$.