Матрицы Паули

• Эрмитовость: ${\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i};}$
• Равенство нулю следа: ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0,\quad \ i=1,2,3}$;
• ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}^{2}=I,}$ где ${\displaystyle I=\sigma _{0}}$ — единичная матрица размерности 2×2;
• Унитарность: ${\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i}^{-1}=\sigma _{i}}$;
• Определитель матриц Паули равен −1;
• Алгебра, порождённая элементами ${\displaystyle \sigma _{0},-i\sigma _{x},-i\sigma _{y},-i\sigma _{z}}$, изоморфна алгебре кватернионов ${\displaystyle \langle 1,i,j,k\rangle }$.

Правила умножения матриц Паули:

${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3},}$

${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2},}$

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1},}$

${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}}$ для ${\displaystyle i\neq j.}$

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме:

${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\cdot \sigma _{0},\quad i,j,k=1,2,3}$,

где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера, а ε_ijk — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения:

${\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{matrix}}}$

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.

Также для матриц Паули выполняются тождества Фирца.

Коммутационные соотношения матриц ${\displaystyle i\sigma _{k}}$ совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц ${\displaystyle i\sigma _{k}\;.}$ Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства; в частности этим объясняется важность матриц Паули для физики.

В квантовой механике матрицы ${\displaystyle i\sigma _{j}/2}$ представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Элементы матрицы спинового оператора для частиц с полуцелым спином выражаются через матрицы Паули^[1] как:

${\displaystyle (s_{x})_{\sigma ,\sigma -1}=(s_{x})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {1}{2}}{\sqrt {(s+\sigma )(s-\sigma +1)}}}$,

${\displaystyle (s_{y})_{\sigma ,\sigma -1}=-(s_{y})_{\sigma -1,\sigma }={\frac {-i}{2}}{\sqrt {(s+\sigma )(s-\sigma +1)}}}$,

${\displaystyle (s_{z})_{\sigma \sigma }=\sigma }$.

Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор^[2]. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).